В этой задаче мы рассмотрим математические подобие при описании двух явлений: присоединенной массы при движении тела в жидкости и сверхпроводника в магнитном поле.
В гидродинамике для описания движения жидкости используется такая характеристика как циркуляция вектора скорости равная $\Gamma=\displaystyle\oint_L\vec{v}\cdot\vec{dl}$, где $L$ --- некий замкнутый контур. Циркуляция скорости служит мерой завихренности течения. Простое безвихревое движение несжимаемой жидкости без вязкости можно описать цикруляцией равной нулю: $\Gamma=0$.
Сверхпроводник --- материал, электрическое сопротивление которого при понижении температуры до критической величины становится равным нулю. В 1933 году был открыт эффект Мейснера --- полное вытеснение магнитного поля из объема проводника при его переходе в сверхпроводящее состояние (см. рис). Отсутствие магнитного поля в объёме проводника позволяет заключить из общих законов магнитного поля, что в сверхноводнике существует только поверхностный ток. Магнитное поле тока уничтожает внутри сверхпроводника внешнее магнитное поле.
Во всех дальнейших пунктах задачи жидкость можно считать несжимаемой и без вязкости.
Часть A. Твердое тело в жидкости и сверхпроводник в магнитном поле
A1
0.40
Рассмотрим твердое тело, движущееся поступательно со скоростью $\vec{v_0}$ в жидкости. Перейдем в систему отсчета, в которой тело покоится. Чему равна нормальная составляющая скорости к поверхности твердого тела $v_n$? Чему равна скорость жидкости на бесконечном удалении от тела $\vec{v_\infty}$ в системе отсчета связанной с телом? Запишите ответы в таблицу в начале листа ответов.
A2
0.40
Рассмотрим неподвижное сверхпроводящее тело, помещенное в однородное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Геометрические размеры тела и его ориентация по отношению к вектору $\vec{B_0}$ совпадают с размерами тела и ориентацией тела по отношению к вектору $\vec{v_0}$ из пункта A1. Чему равна нормальная составляющая индукции магнитного поля $B_n$? Чему равна индукция магнитного поля $\vec{B_{\infty}}$ на бесконечном удалении от сверхпроводника? Запишите ответы в таблицу в начале листа ответов.
A3
0.40
Пусть для пункта A2 во всем пространстве задано распределение индукции магнитного поля $\vec{B}$=$f(\vec{B_0}, \vec{r})$. Считая, что вектора $\vec{B_0}$ и $\vec{v_0}$ сонаправлены, найдите распределение скорости жидкости в пространстве в системе отсчета связанной с телом.
При движении тела жидкость также приходит в движение, и, следовательно, обладает кинетической энергией. При поступательном движении эта величина не зависит от скорости движения тела и определяется соотношением $E_k=\cfrac{(m+\mu)v^2}{2}$, где $E_k$ --- кинетическая энергия жидкости и тела, $m$ --- масса движущегося тела, $\vec{v}$ --- вектор скорости тела. В этой части задачи нужно найти присоединенную массу шара радиуса $R$, движущегося в жидкости, имеющей плотность $\rho$. До начала движения шара жидкость также была неподвижна. Для универсальности обозначений, считайте, что $\vec{r}$ --- радиус-вектор, проведенный из центра шара в произвольную точку пространства.
Примечание: В этой и следующей частях задачи вам понадобятся результаты пункта A!
B1
1.80
Поместим сверхпроводящий шар радиуса $R$ в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве вне шара. Ответ выразите через $\vec{B_0}, \vec{r}$ и $R$.
B2
0.50
Найдите скорость жидкости во всем пространстве вне шара. Ответ выразите через $\vec{v}, \vec{r}$ и $R$.
B3
1.70
Найдите кинетическую энергию жидкости. Ответ выразите через $v, \rho$ и $R$.
B4
0.50
Найдите значение $\mu$ для шара. Ответ выразите через $\rho$ и $R$.
Часть С. Цилиндр в жидкости
В этой части задачи нужно найти присоединенную массу для цилиндра длины $L$ и радиуса $R$, движущегося поступательно в направлении, перпендикулярном его оси симметрии. При расчете скоростей жидкости краевыми эффектами пренебречь (считать,что цилиндр бесконечно длинный). Также считайте, что основной вклад в кинетическую энергию вносит жидкость, движущаяся между торцами цилиндра. Скорость цилиндра равна $\vec{v}$, плотность жидкости $\rho$. Для универсальности обозначений, считайте, что $\vec{r}$ --- радиус-вектор,перпендикулярный оси цилиндра, проведенный от нее в произвольную точку пространства.
C1
2.80
Поместим бесконечно длинный сверхпроводящий цилиндр радиуса $R$ в однородное магнитное поле индукцией $\vec{B_0}$. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве вне цилиндра. Ответ выразите через $\vec{B_0}, \vec{r}$ и $R$.
C2
0.40
Найдите скорость жидкости во всем пространстве вне цилиндра. Ответ выразите через $\vec{v}, \vec{r}$ и $R$.
C3
0.90
Найдите кинетическую энергию движения жидкости. Ответ выразите через $\rho, R, L$ и $v$.
C4
0.20
Найдите значение присоединенную массу $\mu$ для движущегося цилиндра. Ответ выразите через $\rho, R$ и $L$.
