В этой задаче мы рассмотрим математические подобие при описании двух явлений: присоединенной массы при движении тела в жидкости и сверхпроводника в магнитном поле.

В гидродинамике для описания движения жидкости используется такая характеристика как циркуляция вектора скорости, равная $\Gamma=\displaystyle\oint_L\vec{v}\cdot\vec{dl}$, где $L$ – некий замкнутый контур. Циркуляция скорости служит мерой завихренности течения. Простое безвихревое движение несжимаемой жидкости без вязкости можно описать цикруляцией равной нулю: $\Gamma=0$.

Сверхпроводник – материал, электрическое сопротивление которого при понижении температуры до критической величины становится равным нулю. В 1933 году был открыт эффект Мейснера – полное вытеснение магнитного поля из объема проводника при его переходе в сверхпроводящее состояние (см. рис). Отсутствие магнитного поля в объёме проводника позволяет заключить из общих законов магнитного поля, что в сверхпроводнике существует только поверхностный ток. Магнитное поле тока уничтожает внутри сверхпроводника внешнее магнитное поле.

Во всех дальнейших пунктах задачи жидкость можно считать несжимаемой и без вязкости.

Часть A. Твердое тело в жидкости и сверхпроводник в магнитном поле

A1  ^0.40 Рассмотрим твердое тело, движущееся поступательно со скоростью $\vec{v_0}$ в жидкости. Перейдем в систему отсчета, в которой тело покоится. Чему равна нормальная составляющая скорости к поверхности твердого тела $v_n$? Чему равна скорость жидкости на бесконечном удалении от тела $\vec{v_\infty}$ в системе отсчета связанной с телом? Запишите ответы в таблицу в начале листа ответов.

A2  ^0.40 Рассмотрим неподвижное сверхпроводящее тело, помещенное в однородное поле с индукцией $\vec{B}_0$. Геометрические размеры тела и его ориентация по отношению к вектору $\vec{B}_0$ совпадают с размерами тела и ориентацией тела по отношению к вектору $\vec{v}_0$ из пункта A1. Чему равна нормальная составляющая индукции магнитного поля $B_n$? Чему равна индукция магнитного поля $\vec{B}_{\infty}$ на бесконечном удалении от сверхпроводника? Запишите ответы в таблицу в начале листа ответов.

A3  ^0.40 Пусть для пункта A2 во всем пространстве задано распределение индукции магнитного поля $\vec{B}$=$f(\vec{B}_0, \vec{r})$. Считая, что вектора $\vec{B}_0$ и $\vec{v}_0$ сонаправлены, найдите распределение скорости жидкости в пространстве в системе отсчета связанной с телом.

Часть B. Шар в жидкости

При движении тела жидкость также приходит в движение, и, следовательно, обладает кинетической энергией. При поступательном движении эта величина не зависит от скорости движения тела и определяется соотношением $E_k=\cfrac{(m+\mu)v^2}{2}$, где $E_k$ – кинетическая энергия жидкости и тела, $m$ – масса движущегося тела, $\vec{v}$ – вектор скорости тела. В этой части задачи нужно найти присоединенную массу шара радиуса $R$, движущегося в жидкости, имеющей плотность $\rho$. До начала движения шара жидкость также была неподвижна. Для универсальности обозначений, считайте, что $\vec{r}$ – радиус-вектор, проведенный из центра шара в произвольную точку пространства.

Примечание: В этой и следующей частях задачи вам понадобятся результаты части A!

B1  ^1.80 Поместим сверхпроводящий шар радиуса $R$ в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве вне шара. Ответ выразите через $\vec{B_0}, \vec{r}$ и $R$.

B2  ^0.50 Найдите скорость жидкости во всем пространстве вне шара. Ответ выразите через $\vec{v}, \vec{r}$ и $R$.

B3  ^1.70 Найдите кинетическую энергию жидкости. Ответ выразите через $v, \rho$ и $R$.

B4  ^0.50 Найдите значение $\mu$ для шара. Ответ выразите через $\rho$ и $R$.

Часть С. Цилиндр в жидкости

В этой части задачи нужно найти присоединенную массу для цилиндра длины $L$ и радиуса $R$, движущегося поступательно в направлении, перпендикулярном его оси симметрии. При расчете скоростей жидкости краевыми эффектами пренебречь (считать, что цилиндр бесконечно длинный). Также считайте, что основной вклад в кинетическую энергию вносит жидкость, движущаяся между торцами цилиндра. Скорость цилиндра равна $\vec{v}$, плотность жидкости $\rho$. Для универсальности обозначений, считайте, что $\vec{r}$ – радиус-вектор, перпендикулярный оси цилиндра, проведенный от нее в произвольную точку пространства.

C1  ^2.80 Поместим бесконечно длинный сверхпроводящий цилиндр радиуса $R$ в однородное магнитное поле индукцией $\vec{B}_0$. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве вне цилиндра. Ответ выразите через $\vec{B}_0, \vec{r}$ и $R$.

C2  ^0.40 Найдите скорость жидкости во всем пространстве вне цилиндра. Ответ выразите через $\vec{v}$, $\vec{r}$ и $R$.

C3  ^0.90 Найдите кинетическую энергию движения жидкости. Ответ выразите через $\rho, R, L$ и $v$.

C4  ^0.20 Найдите значение присоединенную массу $\mu$ для движущегося цилиндра. Ответ выразите через $\rho, R$ и $L$.