Logo
Logo

Присоединенная масса

Разбалловка

A1  0.40 Рассмотрим твердое тело, движущееся поступательно со скоростью $\vec{v_0}$ в жидкости. Перейдем в систему отсчета, в которой тело покоится. Чему равна нормальная составляющая скорости к поверхности твердого тела $v_n$? Чему равна скорость жидкости на бесконечном удалении от тела $\vec{v_\infty}$ в системе отсчета связанной с телом? Запишите ответы в таблицу в начале листа ответов.

A1. 1 $\vec{v}_n = 0$ 0.20
A1. 2 $\vec{v}_\infty=-\vec{v}_0$ 0.20
A2  0.40 Рассмотрим неподвижное сверхпроводящее тело, помещенное в однородное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Геометрические размеры тела и его ориентация по отношению к вектору $\vec{B_0}$ совпадают с размерами тела и ориентацией тела по отношению к вектору $\vec{v_0}$ из пункта A1. Чему равна нормальная составляющая индукции магнитного поля $B_n$? Чему равна индукция магнитного поля $\vec{B_{\infty}}$ на бесконечном удалении от сверхпроводника? Запишите ответы в таблицу в начале листа ответов.

A2. 1 $\vec{B}_n = 0$ 0.20
A2. 2 $\vec{B}_\infty = \vec{B}_0$ 0.20
A3  0.40 Пусть для пункта A2 во всем пространстве задано распределение индукции магнитного поля $\vec{B}$=$f(\vec{B_0}, \vec{r})$. Считая, что вектора $\vec{B_0}$ и $\vec{v_0}$ сонаправлены, найдите распределение скорости жидкости в пространстве в системе отсчета связанной с телом.

A3. 1 $\vec{v} = -\frac{v_0}{B_0}f(\vec{B}_0, \vec{r})$ 0.40
B1  1.80 Поместим сверхпроводящий шар радиуса $R$ в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве вне шара. Ответ выразите через $\vec{B_0}, \vec{r}$ и $R$.

B1. 1 Сделано предположение о том, что сверхпроводящий шар создает вне себя поле, эквивалентное полю диполя. 0.30
B1. 2 Записана формула поля через магнитный момент.
$$\vec{B}=\vec{B_0}+\frac{\mu_0}{4\pi}(\frac{3(\vec{m}\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{m}}{r^3})
$$
0.30
B1. 3 Записано уравнение на нормальную составляющую поля
$$(\vec{B}\vec{r})=(\vec{B_0}\vec{r})+\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{(\vec{m}\vec{r})}{R^4}=0
$$
0.30
B1. 4 Получен магнитный момент шара.
$$\vec{m}=-\frac{2\pi R^3}{\mu_0}\vec{B_0}
$$
0.60
B1. 5 Получено итоговое выражение для поля вне шара
$$\vec{B}=\vec{B_0}-\frac{3R^3(\vec{B_0}\vec{r})\vec{r}}{2r^5}+\frac{\vec{B_0}R^3}{2r^3}
$$
0.30
B2  0.50 Найдите скорость жидкости во всем пространстве вне шара. Ответ выразите через $\vec{v}, \vec{r}$ и $R$.

B2. 1 Получено выражение для поля скоростей вне шара в лабораторной системе отсчёта.

$$\vec{v}(\vec{r}) =\frac{3R^3(\vec{v}\vec{r})\vec{r}}{2r^5}-\frac{\vec{v}R^3}{2r^3}$$
0.50
B3  1.70 Найдите кинетическую энергию жидкости. Ответ выразите через $v, \rho$ и $R$.

B3. 1 Выражение для кинетической энергии.
$$\int\frac{\rho v^2 dV}{2}$$
0.40
B3. 2 Получено выражение для углового распределения квадрата скорости жидкости
$${v^2_ж({\varphi})}=\frac{v^2\left(1+3\cos^2{\varphi}\right)R^6}{3r^6}
$$
0.40
B3. 3 Получена итоговая формула
$$W_к=\frac{\pi \rho R^3v^2}{3}$$
0.90
B4  0.50 Найдите значение $\mu$ для шара. Ответ выразите через $\rho$ и $R$.

B4. 1 Получено выражение
$$\mu_ш=\frac{2W_к}{v^2}=\frac{2\pi \rho R^3}{3}
$$
0.50
C1  2.80 Поместим бесконечно длинный сверхпроводящий цилиндр радиуса $R$ в однородное магнитное поле индукцией $\vec{B_0}$. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве вне цилиндра. Ответ выразите через $\vec{B_0}, \vec{r}$ и $R$.

C1. 1 Указано, что однородное магнитное поле возникает в области пересечения двух параллельных прямолинейных цилиндрических проводников с одинаковыми, но разнонаправленными токами — однородно. 0.40
C1. 2 Показано, что поле вне сверхпроводящего цилиндра эквивалентно полю бесконечной цепочки магнитных диполей 0.40
C1. 3 Найдено выражение для поля цепочки диполей (поля вне цилиндра)
$$\vec{B}=\frac{1}{2\pi {\mu_0}}\left(\frac{2(\vec{m_0}\vec{r})\vec{r}}{r^4} - \frac{\vec{m_0}}{r^2}\right)
$$
0.80
C1. 4 Записаны граничные условия (при $r = R$) для нормальной составляющей поля $\vec{B}$. 0.40
C1. 5 Получено выражение для магнитного момента бесконечной цепочки диполей (сверхпроводящего цилиндра)
$$\vec{m_0}=-\frac{2\pi R^2\vec{B_0}}{\mu_0}
$$
0.40
C1. 6 Получено итоговое выражения для суммарного поля вне сверхпроводящего цилиндра
$$\vec{B}=\vec{B_0}-2\frac{(\vec{B_0}\vec{r})R^2\vec{r}}{r^4}+\frac{R^2\vec{B_0}}{r^2}
$$
0.40
C2  0.40 Найдите скорость жидкости во всем пространстве вне цилиндра. Ответ выразите через $\vec{v}, \vec{r}$ и $R$.

C2. 1 Получено выражение для скорости жидкости
$$\vec{v_ж}(\vec{r})=2\frac{(\vec{v}\vec{r})R^2\vec{r}}{r^4}-\frac{R^2\vec{v}}{r^2}
$$
0.40
C3  0.90 Найдите кинетическую энергию движения жидкости. Ответ выразите через $\rho, R, L$ и $v$.

C3. 1 Получено выражение для квадрата скорости
$${v_ж}^2(\vec{r})=\frac{v^2R^4}{r^4}
$$
0.40
C3. 2 Получено выражение для кинетической энергии
$$E_к=\frac{\rho\pi R^2 L v^2}{2}
$$
0.50
C4  0.20 Найдите значение присоединенную массу $\mu$ для движущегося цилиндра. Ответ выразите через $\rho, R$ и $L$.

C4. 1 Получено выражение для присоединённой массы
$$\mu=\frac{2E_к}{v^2}=\rho\pi R^2 L
$$
0.20