1  ^?? время $t$, через которое тигры встретятся;

Поскольку углы в треугольнике, образованном тиграми, остаются постоянными, то в любой момент времени образованный тиграми треугольник подобен исходному. Из этого следует, что все тигры встретятся одновременно.

Найдем скорость изменения расстояния $АB$. Так как модули скоростей тигров и углы между ними остаются постоянными, то искомая скорость равна $v_{AB}=v_1$ и она постоянна. Время до встречи первого и второго тигров равно $t=L/v$.

2  ^?? модули скоростей второго и третьего тигров $v_2$ и $v_3$;

Выразим скорости изменения расстояний $BC$ и $AC$:
$$v_{BC}=v_2+\cfrac{v_3}{\sqrt 2},$$ $$v_{AC}=v_3+\cfrac{v_1}{\sqrt 2}.$$

Поскольку углы в треугольнике $ABC$ остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника им пропорциональны:
$$\cfrac{v_{AB}}{AB}=\cfrac{v_{BC}}{BC}=\cfrac{v_{AC}}{AC}.$$

Найдём $v_{AC}$:
$$\cfrac{v}{L}=\cfrac{v_3+\cfrac{v}{\sqrt2}}{L\sqrt2} \Rightarrow v_3=\cfrac{v}{\sqrt2}.$$

Теперь найдём $v_{BC}$:
$$\cfrac{v}{L}=\cfrac{v_2+\cfrac{v}{2}}{L} \Rightarrow v_2=\cfrac{v}{2}.$$

3  ^?? координаты $\left(x{,}y\right)$ точки, в которой тигры встретятся.

Поскольку модуль скорости второго тигра всегда вдвое меньше модуля скорости первого тигра, а направления скоростей в любой момент взаимно перпендикулярны, то траектории их движения будут подобны друг другу с коэффициентом подобия 2:1. Отсюда следует, что вектора перемещения также будут взаимно перпендикулярны и отличаться по модулю в два раза.

Можно доказать это и строго математически. Рассмотрим малый момент времени $dt$. Пусть угол между скоростью первого тигра и осью $x$ равен $\alpha$, тогда угол между скоростью второго тигра и осью $x$ будет равен $\alpha + 90^\circ$. Запишем изменения координат тигров за малое время:
$$dx_1 = v \cos\alpha \cdot dt,$$
$$dy_1 = v \sin⁡\alpha \cdot dt,$$
$$dx_2 = \cfrac{v}{2} \cos⁡{(\alpha + 90^\circ)} \cdot dt = -\cfrac{v}{2} \sin⁡\alpha \cdot dt,$$
$$dy_2 = \cfrac{v}{2} \sin{(\alpha + 90^\circ)} = \cfrac{v}{2} \cos⁡\alpha \cdot dt.$$
Из полученных уравнений видно, что для любого момента времени $dx_1=2dy_2$, $dy_1=-2dx_2$, это означает, что вектора полных перемещений также отличаются в два раза по модулю и взаимно перпендикулярны.

4  ^?? В течение какого времени $\tau$ с момента старта тигры могут поддерживать такое движение?

Величины ускорений тигров не должны превышать $\mu g$, поскольку сила трения — единственная сила, действующая на них в горизонтальной плоскости.

Ускорения тигров имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей тигров вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости $\omega$ вращения треугольника в данный момент времени. Найдём её, рассматривая движение второго тигра относительно первого:
$$\omega=\cfrac{v_2}{AB}=\cfrac{v}{2AB},$$
тогда для ускорений получим: $a_1=\omega v_1$, $a_2=\omega v_2$, $a_3=\omega v_3 $.

Ускорение первого тигра $a_1$ всегда больше ускорений двух других, значит, он первым не сможет поддерживать данное движение.
Для зависимости $a_1$ от времени $t$ получим:
$$a_1 (t) = \cfrac{v^2}{2(L-vt)} \leq \mu g,$$
откуда:
$$t \leq \cfrac{L}{v} - \cfrac{v}{2\mu g}.$$

Проанализируем полученный ответ.
При малых значениях коэффициента трения тигры не смогут даже начать такое движение, поэтому: $\tau=0$ при $\mu\le\cfrac{v^2}{2gL}$, иначе: $\tau=\cfrac{L}{v}-\cfrac{v}{2\mu g}$ при $\mu>\cfrac{v^2}{2gL}$.