1  ^?? напряжение $\mathcal{E}$ идеального источника;

При протекании через резистор тока $I$ он нагревается до температуры $t$. В стационарном режиме, выделяющаяся электрическая мощность равна мощности тепловых потерь. Следовательно, $\beta(t-t_0 )=I^2 R_0 \left( 1+ \alpha (t-t_0 ) \right) $, где $\beta$ — коэффициент тепловых потерь.
Откуда $$t-t_0 = \cfrac{I^2 R_0}{\beta-I^2 R_0 \alpha }.$$
Установившееся напряжение между клеммами $A$ и $B$ задается выражением:
$$U_{AB} = \mathcal E -IR_0 \left(1+ \alpha (t-t_0)\right).$$
Решая систему уравнений, получим:
$$U_{AB}= \mathcal E -\cfrac{IR_0 \beta}{\beta-I^2 R_0 \alpha}.\tag{*}$$
При $I=0$ $U_{AB}=\mathcal E$. Из графика найдем $\mathcal E=10~В$.

2  ^?? сопротивление $R_0$;

При малых $I$ выражение (*) упрощается до: $U_{AB}=\mathcal E-IR_0$.

Проведем касательную к начальному участку графика. Из углового коэффициента определяем $R_0=10~{Ом}$.

3  ^?? напряжение $U_{AB}$ между клеммами $A$ и $B$, если к ним подключить резистор сопротивлением $10~\text{Ом}$;

Напряжение на клеммах $A$ и $B$, при подключении к ним резистора с сопротивлением $10~{Ом}$, найдем графически. Построим ВАХ резистора на графике с нагрузочной кривой. Пересечение графиков даст искомый ответ $4.0~В$.

4  ^?? величину $\alpha$;

График пересекает ось абсцисс при силе тока $0.5~А$. При этом $$\mathcal E=\cfrac{IR_0 \beta}{\beta-I^2 R_0 \alpha},$$ следовательно, $\beta/\alpha=5.0~{Вт}$. Аналогичное значение получается при подстановке других точек.
При температуре плавления $$t_{пл}-t_0= \cfrac{I_1^2 R_0}{\beta-I_1^2 R_0 \alpha}= \cfrac{3.025}{1,975\alpha}=306~{}^\circ\mathrm C,$$ откуда
$$\alpha=5.1\cdot 10^{-3}~{}^\circ\mathrm C^{-1}.$$

5  ^?? какую силу тока гарантированно не сможет пропускать аналогичный резистор, имеющий те же значения параметров $R_0$ и $\alpha$, но очень высокую температуру плавления.

Выразим ток в зависимости от температуры
$$I^2=\cfrac{\beta(t-t_0)}{R_0 (1+ \alpha(t-t_0))}=\cfrac{\beta}{R_0 \left( 1/(t-t_0)+\alpha \right) }.$$
При $t\to\infty$, $I\to I_{макс}=\sqrt{\beta/(R_0\alpha)}=0.71~А$. Значит любой ток более $0.71~А$ резистор гарантированно не сможет пропустить ни при какой температуре плавления.