Logo
Logo

Конденсатор на пружине.

A1  1,00 Найти конечный заряд на обкладках конденсатора $q$.

Для ёмкости конденсатора имеем:
$$C=\cfrac{\varepsilon_0S}{d}{,}
$$
где $S$ — площадь обкладок, а $d$ — расстояние между ними.
Таким образом:
$$C_0=\cfrac{\varepsilon_0S}{L}{.}
$$
Поскольку пружина непроводящая, в состоянии равновесия электрическое поле в конденсаторе должно равняться нулю. Таким образом:
$$E=\cfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\cfrac{q}{S\varepsilon_0}{,}
$$
откуда:

Ответ: $$q=C_0LE{.}
$$

A2  1,00 Найти изменение расстояния $\Delta{x}$ между ними, считая процесс перетекания заряда квазистатическим.

Запишем условие равновесия пластины с зарядом $q$:
$$qE=\cfrac{q^2}{2S\varepsilon_0}+k\Delta{x}{,}
$$
откуда после подстановки заряда $q$:

Ответ: $$\Delta{x}=\cfrac{C_0LE^2}{2k}{.}
$$

A3  2,00 Какое количество теплоты $Q$ выделится при этом процессе на резисторе?

Запишем закон изменения энергии в данной системе:
$$A_E=\Delta{W}_\text{эл}+\Delta{W}_\text{пр}+Q{,}
$$
где $A_E$ — работа электрического поля $E$ по перемещению зарядов, $\Delta{W}_C$ — изменение энергии конденсатора, а $\Delta{W}_\text{пр}$ — изменение потенциальной энергии упругой деформации пружины.
Поскольку конденсатор электрически нейтрален — работа $A_E$ электрического поля $E$ составляет:
$$A_E=q\Delta{\varphi}_E=qE(L+\Delta{x})=C_0LE^2\left(L+\cfrac{C_0LE^2}{2k}\right){,}
$$
где $\Delta{\varphi}_E$ — разность потенциалов электрического поля $E$ на обкладках с зарядами $-q$ и $q$.
Поскольку изначально конденсатор не заряжен — его энергия в конечном состоянии равна изменению энергии $\Delta{W}_C$:
$$\Delta{W}_C=W_C=\cfrac{qU}{2}=\cfrac{qE(L+\Delta{x})}{2}=\cfrac{C_0LE^2}{2}\left(L+\cfrac{C_0LE^2}{2k}\right){.}
$$
Поскольку изначально пружина не напряжена — её энергия упругой деформации в конечном состоянии равна изменению энергии упругой деформации $\Delta{W}_\text{пр}$:
$$\Delta{W}_\text{пр}=W_\text{пр}=\cfrac{k\Delta{x}^2}{2}=\cfrac{(C_0LE^2)^2}{8k}{.}
$$
Таким образом, для количества теплоты $Q$ имеем:

Ответ: $$Q=\cfrac{C_0E^2L^2}{2}+\cfrac{C^2_0L^2E^4}{8k}
$$

B1  2,50 Считая, что изменение расстояния между пластинами $\Delta{x}\ll{L}$, найдите ёмкость $C$ конденсатора после установления всех переходных процессов.

Для заряда конденсатора имеем:
$$q=CU{.}
$$
Запишем условие равновесия обкладок конденсатора:
$$\cfrac{q^2}{2C_0L}=-k\Delta{x}{.}
$$
С учётом выражения для ёмкости:
$$C=\cfrac{C_0L}{L+\Delta{x}}\Rightarrow \Delta{x}=L\left(\cfrac{C_0}{C}-1\right){.}
$$
Таким образом:
$$\cfrac{C^2U^2}{2C_0L}=kL\left(1-\cfrac{C_0}{C}\right){.}
$$
Данное уравнение является точным. Далее воспользуемся условием $\Delta{x}\ll{L}$:
$$\cfrac{\Delta{x}}{L}=-\cfrac{\Delta{C}}{C}\ll{1}\Rightarrow \Delta{C}\ll{C_0}{.}
$$
Таким образом:
$$\Delta{C}=\cfrac{C^2_0U^2}{2kL^2}{.}
$$
Окончательно:

Ответ: $$C=C_0\left(1+\cfrac{C_0U^2}{2kL^2}\right)
$$

C1  0,50 Чему равно $\alpha$?

Ответ: $$\alpha=\cfrac{C_0U^2}{2kL^2}{.}
$$

D1  3,00 Найти соотношение амплитуд третьей и основной гармоник $A_3/A_1$.
Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь.
Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$.

Для заряда конденсатора $q(t)$ имеем:
$$q(t)=C_0U_0\left(\sin\omega t+\cfrac{C_0U^2_0\sin^3\omega t}{2kL^2}\right){.}
$$
Дифференцируя:
$$I(t)=\omega C_0U_0\left(\cos\omega t+\cfrac{3C_0U^2_0\sin^2\omega t\cos\omega t}{2kL^2}\right){.}
$$
Приведём к косинусу:
$$I(t)=\omega C_0U_0\left(\cos\omega t\left(1+\cfrac{3C_0U^2_0}{2kL^2}\right)-\cfrac{3C_0U^2_0\cos^3\omega t}{2kL^2}\right){.}
$$
Воспользуемся данным в условии соотношением и получим:
$$I(t)=\omega C_0U_0\left(\cos\omega t\left(1+\cfrac{3C_0U^2_0}{2kL^2}-\cfrac{9C_0U^2_0}{8kL^2}\right)-\cfrac{3C_0U^2_0\cos 3\omega t}{8kL^2}\right){.}
$$
Таким образом:

Ответ: $$\cfrac{A_3}{A_1}=-\cfrac{3C_0U^2_0}{8kL^2+3C_0U^2_0}
$$