A1  ^0.50 Как зависит орбитальная скорость вращения от расстояния до ядра галактики в случае обычной ньютоновской динамики? Считайте, что масса галактики сосредоточена в ее ядре.

1 Ответ: $$v=\sqrt{\cfrac{GM}{r}} $$

0.50

A2  ^1.00 Пусть в реальности орбитальная скорость вращения

1 Метод нахождения из графика.	0.50
2 Ответ: $$n=2 $$	0.50

A3  ^1.00 Используя участок кривой на графике $r<1~\text{парсек}$, оцените массу ядра Млечного Пути, считая, что ньютоновская динамика работает вблизи ядра при расстояниях до ядра галактики $r<1~\text{парсек}$. Считать, что основной вклад в тяготение вносится только массой в ядре.

1 Указаны координаты точки, которая используется для расчётов. (только если правильный метод расчётов).	0.20
2 Правильная формула и метод расчётов: $$M=\cfrac{v^2r}{G} $$	0.40
3 Численный ответ: $$(4\div{5})\cdot{10^{36}}~\text{кг} $$	0.40
4 Численный ответ: $$(1\div{16})\cdot{10^{36}}~\text{кг} $$	0.20

A4  ^1.00 С учетом модифицированной ньютоновской динамики, описанной выше, докажите, что на больших расстояниях от ядра галактики, где ускорение за счет силы тяжести мало, орбитальная скорость не зависит от расстояния до центра и равна константе. Пусть эта скорость вдали равна $v_\infty$. Как связаны константы $a_0$ и $v_\infty$? Используя график оцените $v_\infty$.

1 Доказательство.	0.50
2 Связь между $v_\infty$ и $a_0$: $$v_\infty=\sqrt[4]{GMa_0} $$	0.30
3 Численный ответ для скорости: $$v_\infty=(199\div251)~\text{км}/\text{с} $$	0.20

A5  ^0.50 Оцените значение константы $a_0$ исходя из данных графика и считая, что в реальности масса всего Млечного Пути в $k=10^6$ раз больше массы ядра.

1 Получена формула (засчитывается даже при отсутствии $k$): $$a_0=\cfrac{v^4}{GMk} $$	0.20
2 Численный ответ: $$a_0=5{,}3\cdot{10^{-12}}~\text{м}/\text{c}^2 $$	0.30

B1  ^3.00 Известно, что мощность действующих на Землю приливных сил трения, обусловленных обращением Луны вокруг неё, составляет $N\approx{10^{12}~\text{Вт}}$. Оцените по порядку величины приращение длительности земных суток $\Delta{T}_\text{З}$ и лунного месяца $\Delta{T}_\text{л}$ за время $\tau=100~\text{млн.лет}$.
Средний радиус орбиты Луны $R=4\cdot{10^5}~\text{км}$, масса Луны $m_\text{Л}=10^{22}~\text{кг}$, период обращения $T_\text{Л}=27{,}3~\text{сут}$, момент инерции Земли $I=8\cdot{10^{37}}~\text{кг}\cdot{м}^2$. Орбитальное движение Луны сонаправлено с вращением Земли вокруг своей оси.

1 Закон сохранения энергии для Земли (через величины из условия и периоды Земли) .	0.40
2 Формула для $\Delta{T}_\text{З}$: $$\Delta{T}_\text{З}=T^2_\text{З}\cfrac{N\tau}{4\pi^2I} $$	0.30
3 Численное значение $\Delta{T}_\text{З}$: $$\Delta{T}_\text{З}=640~\text{с} $$	0.30
4 Закон сохранения момента импульса для системы Земля-Луна (через величины из условия и параметры движения Земли/Луны).
5 Запись ЗСМИ через приращения.	0.40
6 Найдена связь изменения расстояния (из 2 закона Ньютона): $$\Delta{R}=-\cfrac{2R}{3}\cfrac{\Delta{\omega}_\text{Л}}{\omega_\text{Л}} $$	0.50
7 Формула для $\Delta{T}_\text{Л}$: $$\Delta{T}_\text{Л}=\cfrac{3N\tau T^2_\text{Л}T_\text{З}}{4\pi^2mR^2} $$	0.40
8 Численное значение $\Delta{T}_\text{Л}$: $$\Delta{T}_\text{Л}=2{,}85~\text{ч} $$	0.40

C1  ^1.00 Релятивистский $\pi^0$-мезон распался на два гамма-кванта с энергиями $E_1=81~\text{МэВ}$ и $E_2=450~\text{МэВ}$. Найдите угол $\varphi$ между направлениями разлёта гамма-квантов. Масса $\pi^0$-мезона $135~\text{МэВ}$.

1 Получена формула: $$\varphi=\arccos\left(1-\cfrac{E^2_0}{2E_1E_2}\right) $$	0.50
2 Численное значение $\varphi$: $$\varphi=0{,}723=41{,}4^\circ $$	0.50

C2  ^2.00 Позитрон с энергией ($\gamma=3$) сталкивается с покоящимся электроном. Образовавшиеся гамма-кванты разлетаются симметрично относительно направления позитрона. Найдите угол $\varphi$ между направлениями разлёта гамма-квантов.

1 Понимание, что энергия гамма-квантов одинакова.	0.60
2 Формула для $\varphi$: $$\varphi=\arccos\left(\cfrac{\gamma-3}{\gamma+1}\right) $$	0.70
3 Численное значение $\varphi$: $$\varphi=\cfrac{\pi}{2}=90^\circ $$	0.70