Pho.rs: Аналемма

A1 ^0.90 Наибольшая угловая высота солнца в течение суток зависит от времени года и от широты, на которой находится наблюдатель. Решите задачу, достойную древнего мореплавателя и найдите коэффициенты $A_0$, $k_0$ и $\phi_0$ в приближенном выражении, описывающем зависимость отклонения этой угловой высоты (рис. 2) от усредненного по всем дням года значения ($N$ – номер дня). Орбиту считайте круговой.
$$\Delta{\varepsilon}=A_0\sin\left(k_0N+\phi_0\right)
$$

1 $$A_0=\theta $$	0.30
2 $$k_0=\cfrac{2\pi}{N_0} $$	0.30
3 $$\phi_0=\cfrac{\pi}{2} $$	0.30

A2 ^0.10 Нарисуйте, какую кривую за год описывал бы луч света на полу храма, положения которого замеряются каждый день в 12:00 по ИСВ, отметьте положение сторон света на рисунке. (Стороны света на рассматриваемой планете определяются так же, как и на земле, в соответствии с направлением вращения планеты вокруг своей оси).

1 Нарисована прямая линия в направлении «север-юг».

0.10

B1 ^0.10 Укажите, в какой точке орбиты истинные солнечные сутки будут длиннее всего? Короче всего?

1 На рисунке показано, что наибольшая продолжительность суток — в ближайшей к звезде точке орбиты (перигелий), а наименьшая — в самой далекой (афелий)

0.10

B2 ^2.00 На сколько самые длинные истинные сутки длиннее самых коротких?

1 $$\omega\sim{1/r^2} $$	1.00
2 $$\Delta{\tau_1}=\cfrac{4\tau e}{N_0} $$	1.00

B3 ^0.60 Считая, что в первый день в году ($N=0$) планета находится ближе всего к звезде, найдите параметры $A_1$, $k_1$ и $\phi_1$ приближенного уравнения, описывающего разницу в продолжительности истинных и усредненных солнечных суток в зависимости от номера дня
в году $N$ ($0\leq{N}\leq{364}$):
$$t_{\text{сут}~\text{ИСВ}}-t_{\text{сут}~\text{УСВ}}=A_1\sin\left(k_1N+\phi_1\right)
$$

1 Из результатов пункта $\mathrm B2$ получено: $$A_1=\cfrac{2\tau e}{N_0} $$ $$\text{Err.Prop. from B2} $$	0.20
2 $$k_1=\cfrac{2\pi}{N_0} $$	0.20
3 $$\phi_1=\cfrac{\pi}{2} $$	0.20

B4 ^0.20 Какая разница $\Delta_1(N)$ между ИСВ и УСВ накопится за $N$ дней, если в первый день в году системы были синхронизированы?

1 Из результатов пункта $\mathrm B3$ получено:
$$\Delta_1=\cfrac{e\tau\sin\left(\cfrac{2\pi N}{N_0}\right)}{\pi}
$$
$$\text{Err.Prop. from B3}
$$

0.20

B5 ^0.10 Какой величины достигает наибольшее в течение года расхождение между ИСВ и УСВ ($\Delta_{1max}$)?

1 $$\Delta_{1max}=\cfrac{e\tau}{\pi}
$$

0.10

C1 ^1.00 Отметим точку на экваторе планеты, в которой звезда в некоторый момент времени находится в зените. Припишем этой точке нулевую долготу $\lambda=0$ и будем следить за точками, для которых звезда будет в зените ровно через 1 сутки УСВ, 2 суток УСВ и т.д. Эти точки образуют на поверхности планеты некоторую кривую, которую можно задать в терминах широты $\varphi$ и долготы $\lambda$ (см. рис. 3). Получите формулу этой кривой.

1 $$\tan\phi=\tan\theta\sin\lambda
$$

1.00

C2 ^0.20 Пусть в некоторый момент при построении кривой, описанной в пункте $\mathrm C1$, в точке с долготой $\lambda$ звезда оказалась в зените. Найдите $\Delta{\lambda}/\Delta{t}$, где $\Delta{\lambda}$– изменение долготы точки за время $\Delta{t}$ равное одним суткам.

1 $$(\delta{\sigma})^2=(\delta{\phi})^2+(\cos\phi\delta{\lambda})^2 $$	0.10
2 $$\cfrac{\Delta{\lambda}}{\Delta{\tau}}=\cfrac{2\pi}{N_0\tau}\cos\left(\theta\left(1+\tan^2\theta\sin^2\lambda\right)\right) $$	0.10

C3 ^1.50 Найдите параметры $A_2$, $k_2$ и $\phi_2$ приближенного уравнения, наилучшим образом описывающие разницу между продолжительностью истинных и усредненных солнечных суток на такой планете:
$$t_{\text{сут}~\text{ИСВ}}-t_{\text{сут}~\text{УСВ}}=A_2\sin\left(k_2N+\phi_2\right)
$$

1 $$A_2=\cfrac{2\pi}{N_0\tau}\cdot{\cfrac{\tau^2\theta^2}{4\pi}} $$ $$\text{Err.Prop. from C2} $$	0.20
2 $$k_2=\cfrac{4\pi}{N_0} $$	0.20
3 $$\phi_2=\cfrac{\pi}{2} $$	0.20

C4 ^0.20 Какая разница $\Delta_2(N)$ между ИСВ и УСВ накопится за $N$ дней, если в первый день в году обе системы были синхронизированы?

1 $$\Delta_2=\cfrac{\tau\theta^2}{8\pi}\sin\left(\cfrac{4\pi N}{N_0}\right)
$$
$$\text{Err.Prop. from C3}
$$

C5 ^0.10 Какой величины $\Delta_{2max}$ достигает наибольшее в течение года расхождение между ИСВ и УСВ?

1 $$\Delta_{2max}=\cfrac{\tau\theta^2}{8\pi}
$$

0.10

D1 ^1.00 Получите зависимости обеих угловых координат солнца $\varepsilon(N)$ и $\Delta{\lambda}(N)$ в полдень по УСВ (12:00) от номера дня в году $N$ на широте $\varphi$.

1 Формула не оценивается $$\Delta{\epsilon}=-\theta\cos\left(\cfrac{2\pi N}{N_0}\right) $$ $$\text{Err.Prop. from B4,C4} $$
2 $$\Delta{\lambda}=2e\sin\left(\cfrac{2\pi N}{N_0}\right)+\cfrac{\theta^2}{4}\sin\left(\cfrac{4\pi N}{N_0}\right) $$	1.00

D2 ^1.00 Схематично нарисуйте в угловых координатах небесной сферы $\varepsilon$ и $\Delta{\lambda}$ (с точностью до константы) аналеммы для случаев, описанных в частях B и C.

1 При $\theta=0$ аналемма - отрезок на оси $\Delta{\lambda}$.	0.40
2 При $e=0$ - симметричная относительно осей восьмёрка.	0.60

D3 ^0.20 С помощью рисунков и формул опишите метод, позволяющий из параметров аналеммы определить $e$ и $\theta$.

1 Высота аналеммы - $2\theta$.	0.10
2 Ширина аналеммы на полувысоте - $4e$. $$\text{Err.Prop. from D1} $$	0.10

D4 ^0.80 Определите числовые значения $e$ и $\theta$ для планет, аналеммы которых приведены на рисунке, а также укажите, на каких широтах $\varphi$ проводились измерения приведенных кривых (все измерения проводились в северном полушарии). По горизонтальной и вертикальной осям отложены $\Delta \lambda$ и $\varepsilon$ в градусах соответственно.

1 По $0{,}05$ за каждое правильное значение $\phi$: $$\phi_A=40^\circ $$ $$\phi_B=60^\circ $$ $$\phi_C=45^\circ $$ $$\phi_D=50^\circ $$	4 × 0.05
2 По $0{,}15$ за каждую правильную пару значений $\theta{,}e$: $$\theta_A=20^\circ{;}e_A=0{,}01 $$ $$\theta_B=20^\circ{;}e_B=0{,}02 $$ $$\theta_C=20^\circ{;}e_C=0{,}03 $$ $$\theta_D=10^\circ{;}e_D=0{,}01 $$	4 × 0.15

Аналемма

Разбалловка