Pho.rs: Гравитационное линзирование

A1 ^1.00 Рассмотрим звезду массы $M$. Пусть мимо нее пролетает тело малой массы, имевшее первоначально большую (но нерелятивистскую) скоростью $v$, причем $v^2\gg{GM/R}$, где $R$ – наименьшее расстояние между центрами тел в процессе полета. Найдите угол, на которое оно отклонится от первоначального направления.

1 Предложена идея модели прямолинейного движения.	0.20
2 Получено: $$\delta=\cfrac{2GM}{Rv^2} $$	0.80

A2 ^0.30 Теперь рассмотрите фотон, летящий со скоростью света $c$. Для него верно соотношение $E=pc$, где $E$, $p$ – энергия и импульс фотона. Считайте, что гравитационная сила, действующая на фотон, определяется законом всемирного тяготения, где вместо массы используется величина $E/c^2$. Найдите угол отклонения $\delta$ фотона.

1 Получено выражение:
$$\delta=\cfrac{2GM}{Rc^2}
$$

0.30

A3 ^0.20 ОТО предсказывает значение, ровно в $2$ раза большее найденного вами. Запишите выражение для угла отклонения $\delta$, предсказанное ОТО. В дальнейшем используйте именно это значение. Представив $\delta$ в виде $\delta=r_0/R$, выразите $r_0$ через $G$, $M$ и $c$.

1 Получен ответ:
$$r_0=\cfrac{4GM}{c^2}
$$

B1 ^1.00 Предполагая вначале, что Земля, источник света и центр линзы находятся на одной прямой ($\alpha=0$), найдите угол $\theta_0$, под которым свет приходит к наблюдателю. Что видит наблюдатель в этом случае? Угол $\theta_0$ называется углом Хвольсона-Эйнштейна по имени людей, разработавших теорию линзирования.

1 Получена система уравнений для $\theta_0$, $\gamma$.	0.30
2 Получено выражение: $$\theta_0=\sqrt{\cfrac{4GMb}{a(a+b)c^2}} $$	0.50
3 Указано, что наблюдатель видит изображение - кольцо.	0.20

B2 ^0.50 Найдите численное значение $\theta_0$ (в угловых секундах), считая массы звезд источника и линзы равными массе Солнца $2\cdot{10^{30}~\text{кг}}$, радиусы равными радиусу Солнца $R=7\cdot{10^8}~\text{м}$, расстояния $a=b=10~\text{кпк}$. Один парсек равен $1~\text{пк}=3\cdot{10^{16}}~\text{м}$, скорость света $c=3\cdot{10^8}~\text{м}/\text{с}$, гравитационная постоянная $G=6{.}67\cdot{10^{-11}}~(\text{Н}\cdot{м}^2)/\text{кг}^2$.

1 Получено численное значение: $$\theta_0=3{,}14\cdot{10^{-9}}=6{,}4^{''}\cdot{10^{-4}} $$	0.50
2 Величина $\theta_0$ верная, но не в угловых секундах.	0.30

B3 ^1.00 Сколько изображений увидит наблюдатель в общем случае $\alpha\neq{0}$? Найдите угол для каждого из них. Выразите его через углы $\alpha$, $\theta_0$.

1 Получена система уравнений для $\theta$, $\gamma$.	0.30
2 Получены выражения: $$\theta_{1{,}2}=\cfrac{\alpha\pm{\sqrt{\alpha^2+4\theta^2_0}}}{2} $$	0.50
3 Указано, что изображений не более двух	0.20

B4 ^1.00 Пусть радиус звезды-линзы равен $R_L$. Для предыдущего пункта найдите такой угол $\alpha_\text{max}$, при котором еще видны все изображения. Выразите $\alpha_\text{max}$ через $a$, $R_L$ и $\theta_0$. Вычислите его для параметров, приведенных в пункте B2.

1 Записано, что $$\|\theta_{1{,}2}\|\geq{\cfrac{R_L}{a}} $$	0.20
2 Получена формула: $$\alpha_{max}=\cfrac{\theta^2_0-\left(\cfrac{R_L}{a}\right)^2}{\left(\cfrac{R_L}{a}\right)} $$	0.50
3 Получено численное значение: $$\alpha_{max}=4{,}3\cdot{10^{-6}} $$	0.30

B5 ^1.00 Найдите $\Gamma_\perp$ – линейное увеличение линзы в перпендикулярном плоскости рисунка направлении. Для этого немного сместите источник в этом направлении и посмотрите, на сколько в том же направлении сместится изображение.

1 Получена формула для углового увеличения.	0.50
2 Получено выражение: $$\Gamma_\perp=\cfrac{\theta a}{\alpha(a+b)} $$	0.50

B6 ^1.00 Теперь найдите $\Gamma_\parallel$– линейное увеличение в направлении, лежащем в плоскости рисунка и перпендикулярном лучу зрения.

1 Получена формула для углового увеличения.	0.50
2 Получено выражение: $$\Gamma_\parallel=\cfrac{1}{2}\cfrac{a}{a+b}\left(1\pm{\cfrac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+4\theta^2_0}}}\right) $$	0.50

B7 ^0.50 Пусть источник имеет малые, но ненулевые размеры. Зная $\Gamma_\perp$ и $\Gamma_\parallel$, найдите полное увеличение гравитационной линзы $\Gamma$. По определению это отношение площади изображения (лежащего в плоскости линзы) к площади проекции источника на плоскость, перпендикулярную лучу зрения.

1 $$\Gamma=\Gamma_\perp\cdot{\Gamma_\parallel} $$	0.30
2 Получено выражение для полного линейного увеличения: $$\Gamma=\cfrac{1}{4}\left(\cfrac{a}{a+b}\right)^2\left(\cfrac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+4\theta^2_0}}+\cfrac{\sqrt{\alpha^2+4\theta^2_0}}{\alpha}\pm{2}\right) $$	0.20

B8 ^1.50 Как известно, собирающая линза фокусирует лучи, увеличивая поток энергии. Таким же свойством обладает гравитационная линза. Пусть в отсутствие линзы телескоп наблюдателя принимает от источника поток энергии $N_0~\left[\text{Вт}\right]$. Найдите, во сколько раз $\mu$ увеличивает линза принимаемый поток энергии. Световой поток от звезды – линзы считайте пренебрежимо малым. Считайте, что наблюдатель видит все возможные изображения ($\alpha\neq{0}$) и суммирует потоки энергии от них.

1 Получено, что отношение мощностей равно произведению угловых увеличений в двух направлениях.	0.90
2 Учёт двух изображений.	0.30
3 Получена формула: $$\mu=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+4\theta^2_0}}+\cfrac{\sqrt{\alpha^2+4\theta^2_0}}{\alpha}\right) $$	0.30

B9 ^0.50 Найдите значение $\mu$ при $\alpha=\theta_0$. Постройте качественный график зависимости $\mu(y)$, где $y=\alpha / \theta_0$.

1 Получено значение при $\alpha=\theta_0$: $$\mu=\cfrac{3}{\sqrt{5}}\approx{1{,}34} $$	0.20
2 Построен качественный график.	0.30

B10 ^0.50 Из полученной формулы следует $\mu\to{\infty}$ при $\alpha\to{0}$. Чем на самом деле ограничивается $\mu$?
Используя численные данные пункта B2, оцените значение $\mu_{max}$.

1 Получено верное значение:
$$\mu_{max}=2{,}7\cdot{10^3}
$$

0.50

C1 ^1.00 Однако все же можно наблюдать микролинзирование на оптических телескопах. Для этого нужно измерять поток энергии от звезд, который, как мы выяснили, изменяется при линзировании, когда одна звезда проходит сзади другой. Процесс линзирования звезд в Галактике длится примерно $\tau=40~\text{дней}$. Если за это время мы пронаблюдаем звезду хотя бы
однажды, то, зная ее стандартную светимость, мы поймем, что наблюдаем гравитационное линзирование. Считайте, что в нашей Галактике $N=2\cdot{10^{11}}$ звезд, их массы примерно равны массе Солнца, характерный размер Галактики $L=10~\text{кпк}$. Оцените, сколько звезд $N_0$ нужно наблюдать ежемесячно, чтобы за $t=1~\text{год}$ найти $k=10$ событий гравитационного линзирования.

1 Выбрана разумная оценка для $\alpha=\theta_0$.	0.20
2 Получена вероятность ГЛ в зависимости от числа звезд в малый промежуток времени.	0.30
3 Получено выражение для наиболее вероятного числа ГЛ за $t=1~\text{год}$.	0.20
4 Получено верное значение: $$N_0=10^7 $$	0.30

Гравитационное линзирование

Разбалловка