Logo
Logo

Сверхтекучий гелий в аэрогеле

Разбалловка

A1  1,00 Сколько $F_1(t)$ атомов $^3\rm He$ успевает хотя бы один раз столкнуться с нитями аэрогеля за время $t\in{\left[1~\text{фс}; 1~\text{пс}\right]}$? Вычислите $F_1(10~\text{фс})$

A1. 1 Формула:
$$F_1(t)=2Nrvnt
$$
0,50
A1. 2 Ответ:
$$F_1(10~\text{фс})=10^4
$$
0,50
A2  1,00 Сколько $G(t)$ столкновений в среднем испытывает атом $^3\rm He$ за время $t$?

A2. 1 Ответ:
$$G(t)=2rvnt
$$
1,00
A3  1,00 Сколько $F_2(t)$ атомов $^3\rm He$ ни разу не столкнется с нитями аэрогеля за время $t\in{\left[1~\text{фс}; 0.1~\text{мкс}\right]}$? Вычислите $F_2(10~\text{нс})$.

A3. 1 Формула:
$$F_2(t)=Ne^{-2rvnt}
$$
0,50
A3. 2 Ответ:
$$F_2(10~\text{нс})=3{,}7\cdot{10^9}
$$
0,50
A4  2,00 Какое количество $S(\phi,\Delta\phi)$ атомов $^3\rm He$ при первом столкновении изменит направление скорости на угол $\alpha\in{\left[\phi; \phi+\Delta{\phi}\right]}$, где $\Delta{\phi}\in{\left[10^{-5}{;}10^{-3}\right]}$, $\phi\in{\left[10^{-1}-\pi;10^{-1}\right]\cup\left[10^{-1}{;}\pi-10^{-1}\right]}$. Считайте угол положительным при изменении направления против часовой стрелки. Вычислите $S(\pi/2,10^{-4})$.

A4. 1 $$S\sim{\sin\cfrac{\phi}{2}}
$$
0,70
A4. 2 $$S\geq{0}
$$
0,20
A4. 3 Формула отнормирована на единицу. 0,60
A4. 4 Ответ:
$$S\left(\cfrac{\pi}{2}{;}10^{-4}\right)=1{,}8\cdot{10^5}
$$
0,50
A5  1,00 Какое среднее расстояние $\langle \lambda\rangle$ пройдет атом $^3\rm He$ до первого столкновения с нитью аэрогеля? Приведите формулу и численный ответ.

A5. 1 Формула:
$$\langle \lambda\rangle=\cfrac{1}{2rn}
$$
0,50
A5. 2 Ответ:
$$\langle \lambda\rangle=5~\text{мкм}
$$
0,50
A6  1,00 Каков средний квадрат этого расстояния $\langle\lambda^2\rangle$? Приведите формулу и численный ответ.

A6. 1 $$\langle \lambda^2\rangle=2\langle \lambda\rangle^2
$$
0,40
A6. 2 Формула:
$$\langle \lambda^2\rangle=\cfrac{1}{2r^2n^2}
$$
0,30
A6. 3 Ответ:
$$\langle \lambda^2\rangle=50~\text{мкм}^2
$$
0,30
A7  3,00 Каков средний квадрат смещения $\langle r^2\rangle$ атома $^3\rm He$ за время $t\in{\left[1~\text{мкс}; 1~\text{мс}\right]}$ с момента запуска? Вычислите $\langle{r}^2\rangle(10~\text{мкс})$.

A7. 1 $$\langle r^2\rangle\sim{t}
$$
0,20
A7. 2 $$\langle \cos\angle{\Delta{\vec{r_i}}{,}\Delta{\vec{r}_{i+1}}}\rangle=-\cfrac{1}{3}
$$
0,50
A7. 3 $$\langle \cos\angle{\Delta{\vec{r_i}}{,}\Delta{\vec{r}_{i+k}}}\rangle=\left(-\cfrac{1}{3}\right)^k
$$
0,80
A7. 4 Формула:
$$\langle r^2\rangle(t)=\cfrac{3vt}{4rn}
$$
1,00
A7. 5 Ответ:
$$\langle r^2\rangle(10~\text{мкс})=37500~\text{мкм}^2
$$
0,50