В этой задаче рассмотрим движение теннисного мячика при ударе о стену. Для простоты будем считать мячик точечной массой $m$ и пренебрежём его вращением и сопротивлением воздуха. На рисунке 1 введена система координат $Oxy$, в которой начало совпадает с точкой пересечения стены и пола, ось $Ox$ направлена горизонтально вправо, а ось $Oy$ – вертикально вверх. Обозначим проекции скорости и ускорения мяча на оси $Ox$ и $Oy$ соответственно как $v_x$, $a_x$ и $v_y$, $a_y$. Ускорение свободного падения равно $g$.

Мячик начинает движение из точки $P$ на высоте $h$ над полом со скоростью $v$, направленной по оси $Ox$. После этого мячик отскакивает от пола в точке $A$. Коэффициент восстановления при этом столкновении равен $e\ (0 < e < 1)$. Затем по мячику в точке $R$ упруго ударяют теннисной ракеткой. Ракетка при этом наклонена под углом $\theta$ к вертикали и движется со скоростью $V$ вдоль нормали к своей поверхности. Считайте, что в результате удара по мячику скорость ракетки не меняется.

Исследуем, при каком положении точки $R$, угле $\theta$ и скорости $V$ мячик впоследствии вернётся в стартовую точку (т.е. проделает путь $P\to A\to R\to P$) и продолжит движение циклично, если коэффициент восстановления при столкновении о стенку также равен $e$.

1 Запишите уравнения движения мячика, запущенного из точки $P$, в проекции на оси $x$ и $y$. Найдите зависимость $x$ и $y$ от времени $t$ от момента вылета до попадания в точку $A$, если $x=0$, $y=h$, $V_x=V$ и $V_y=0$.

2 Найдите траектории $y_1(x)$ и $y_2(x)$ мяча, вылетевшего из точки $P$ со скоростью $v$ и $\cfrac ve$ соответственно. В первом случае найдите координату $x_A$ точки $A$ на оси абсцисс.

3 Найдите траекторию $y_3(x)$ мячика от момента отскока от пола в точке $A$ до удара ракеткой.

Для удобства дальнейшего рассмотрения введём безразмерный параметр $f$:\[f=\frac{x_R-x_A}{x_A}.\]Здесь $R$ – точка пересечения траекторий $y_2(x)$ и $y_3(x)$.

4 Выразите $f$ через коэффициент восстановления $e$. Считайте, что $f < 1$.

5 Покажите, что при $e=\frac12$ (и при $f=1$) траектории $y_2(x)$ и $y_3(x)$ касаются друг друга, а при $e < \frac12$ вовсе не имеют точек пересечения.

6 Найдите скорости мячика $\vec v_1=(v_{1x},v_{1y})$ и $\vec v_2=(v_{2x},v_{2y})$ на траекториях $y_3(x)$ и $y_2(x)$ соответственно в точке $R$. Ответ выразите через $g$, $h$, $v$, $e$ и/или $f$.

7 Какой импульс $\Delta\vec p$ должен быть передан мячику ракеткой, чтобы в дальнейшем он снова прилетел в точку $P$ по траектории $y_2(x)$? Выразите ответ через $v_{1x}$, $v_{1y}$, $v_{2x}$ и $v_{2y}$.

Будем считать, что сила, действующая на мячик со стороны ракетки, перпендикулярна её поверхности.

8 Найдите тангенс $\operatorname{tg}\theta$ угла наклона ракетки и её скорость $V$, при которой мячик после отскока полетит по траектории $y_2(x)$. Выразите ответ через $g$, $v$, $h$, $e$ и/или $f$.