Logo
Logo

Максвелл, Релей и гора Эверест

Разбалловка

A1  0.50 Запишите уравнения движения для \(y\). Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна \(E(t)\,q/m\).

A1. 1 $$
\ddot{y} = - \omega_0^2 y - \frac{q E_0}{m} \cos \omega t
$$
0.50
A1. 2 Ошибка в знаке или отсутствующее слагаемое -0.30
A2  0.50 Используя приведенную выше информацию и решая уравнение для \(y\), найдите амплитуду колебаний.

A2. 1 $$
- \omega^2 y_0 = - \omega_0^2 y_0 - \frac{q E_0}{m} \cos \omega t
$$
0.20
A2. 2 $$
y_0 = \frac{qE_0/m}{\omega^2 - \omega_0^2}
$$
0.30
A2. 3 Ошибка в знаке или потерянное слагаемое -0.10
A3  0.50 Найдите дипольный момент \(p(t)\) молекулы воздуха как функцию времени в случае \(\omega \ll \omega_0 \).

A3. 1 $$
p(t) = - q y(t) = \frac{q^2 E_0}{m \omega_0^2} \cos \omega t
$$
0.50
A3. 2 Ошибка в знаке -0.10
A3. 3 Ответ без приближения -0.20
A4  0.50 Получите выражение для \(\omega_0\) через \(q\), \(m\) и \(r\).

A4. 1 $$
F_{el} = - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} y \hat{y}
$$
0.40
A4. 2 $$
\omega_0 = \frac{q}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 m r^3}}
$$
0.10
B1  1.00 Используя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность \(s\) через приведенные выше величины.

B1. 1 $$
[s] = кг \cdot м^2 \cdot с^{-3}
$$
0.10
B1. 2 $$
[p_0] = Кл \cdot м
$$
0.10
B1. 3 $$
[\omega] = c^{-1}
$$
0.10
B1. 4 $$
[\varepsilon_0 ] = Кл^2 \cdot кг^{-1} \cdot м^{-3} \cdot с^2
$$
0.10
B1. 5 $$
[c]= м \cdot с^{-1}
$$
0.10
B1. 6 $$
[s] = [p_0]^\alpha [\omega]^\beta [\varepsilon _0]^\gamma [c]^\delta
$$
0.10
B1. 7 $$
s = k \frac{p_0^2 \omega^4}{\varepsilon_0 c^3}
$$
0.40
B2  0.20 Коэффициент пропорциональности равен \(1/12 \pi\). Выразите ответ для излучаемой мощности \(s\) через \(E_0\), \(\omega_0\), \(\omega\) и другие величины. Примите \(\omega \ll \omega_0 \).

B2. 1 $$
s = \frac{1}{12 \pi} \frac{p_0^2 \omega^4}{\varepsilon_0 c^3} = \frac{1}{12 \pi} \frac{q^4 E_0^2}{m^2 \varepsilon_0 c^3} \frac{\omega^4}{\omega_0^4}
$$
0.20
C1  1.00 Запишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности \(I(x)\).

C1. 1 $$
I(x) A - I(x + \Delta x) A = n_0 s(A \Delta x)
$$
0.80
C1. 2 $$
- \frac{dI}{dx} = n_0 s
$$
0.20
C2  0.50 Получите выражение для интенсивности \(I(x)\) как функции \(x\) через характерное расстояние \(L\), на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна \(I_0\).

C2. 1 $$
- \frac{d I}{dx} = \frac{I}{L}
$$
0.20
C2. 2 $$
L = \frac{6 \pi \varepsilon_0^2 m^2 c^4}{n_0 q^4} \left( \frac{\omega_0}{\omega}\right)^4
$$
0.20
C2. 3 $$
I = I_0 e^{-x/L}
$$
0.10
C3  0.30 Пусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите
$$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\
\omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\
\omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$
Получите численное значение $L$ в километрах.

C3. 1 $$
L \approx 130 ~км
$$
0.30
D1  2.00 На рисунке точка \(P\) обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте \(h\) = 2042 м над уровнем моря. Линия \(BS\) обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии \(d\) = 170 км от Дарджилинга, а высота равна \(H\) = 8848 м. Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии 75 км от Дарджилинга, ее высота 8586 м. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот \(H'\) этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли \(R\) равен 6378 км.

D1. 1 Рисунок 0.70
D1. 2 $$
H^\prime = R + h - \frac{(R +h)^2}{R + H} \frac{1}{\cos \theta} \approx H - h - \frac{d^2}{2 R}
$$
0.80
D1. 3 Численные значения (Канченджанга 6096 м, Эверест 4534 м) 0.50
E1  1.00 Примите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет 5\% или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга.

E1. 1 $$
I = \frac{P_0}{4 \pi d^2} e^{-d/L}
$$
0.50
E1. 2 $$
\frac{I_{Everest}}{I_{Kanchenjunga}} = 0.093
$$
0.30
E1. 3 Эверест видим 0.20
F1  1.00 Выше мы нашли характерную длину затухания \(L\), связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания \(L_{p}\) связанную с рассеянием частицами \emph{аэрозоля} (загрязнение). \(L_{p}\) зависит от концентрации \(n\) частиц и от площади сечения \(\pi r^2\) частицы аэрозоля радиуса \(r\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной 1/8. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна \(\rho_p = 5~ \mathrm{мкг}/\mathrm{м}^3\), а средний радиус частиц равен 500 нанометров. Чему равна длина \(L_p\)? Пусть плотность одной частицы аэрозоля \(\rho = 3~\mathrm{г}/\mathrm{см}^3\).

Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\).

F1. 1 $$
L_p = \frac{1}{8 n \pi r^2}
$$
0.30
F1. 2 $$
L_p = \frac{r \rho}{6 \rho_p}
$$
0.20
F1. 3 $$
L_p = 50 ~км
$$
0.50
G1  1.00 Оцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет.

G1. 2 $$
\frac{I_K}{I_{ref}} = e^{-d_K/L}
$$
0.30
G1. 3 $$
\frac{I_K}{I_{ref}} = 0.22
$$
0.10
G1. 4 Гора видима 0.10
G1. 5 $$
\frac{I_E}{I_{ref}} = 0.093 e^{- d_E/L_p}
$$
0.30
G1. 6 $$
\frac{I_E}{I_{ref}} = 0.003
$$
0.10
G1. 7 Гора невидима 0.10