Logo
Logo

Оптимальный парусник

A1  5.00 Определите, под какими углами $\alpha$ и $\beta$ надо выставить парусник и парус, чтобы дрейфовая скорость движения была максимальна.

Полная сила, с которой воздух действует на парус, направлена перпендикулярно его плоскости. Для неё имеем: $$F=\cfrac{dm}{dt}u_n=\rho S_nu\cdot u_n $$ где $dm/dt$ – масса воздуха, налетающая на парус в единицу времени, $\rho$ – плотность воздуха, $S_n$ – площадь поперечного сечения потока воздуха, попадающего на парус, а $u_n$ – компонента скорости воздуха, перпендикулярная поверхности паруса. Пусть $S$ – площадь паруса, а $u$ – скорость ветра. Тогда: $$S_n=S\cos\beta\qquad u_n=u\cos\beta $$ откуда: $$F=\rho Su^2\cos^2\beta $$ Запишем условие равновесия для парусника: $$F_\tau=kv $$ где $v$ – скорость движения парусника, а $k$ – коэффициент пропорциональности между силой сопротивления воды и скоростью парусника. Для $F_\tau$ имеем: $$F_\tau=F\cos(\pi/2-\beta+\alpha)=F\sin(\beta-\alpha) $$ Таким образом: $$\rho Su^2\cos^2\beta\sin(\beta-\alpha)=kv $$ Для дрейфовой компоненты скорости парусника имеем: $$v_\text{д}=v\sin\alpha=\cfrac{\rho Su^2}{k}\cos^2\beta\sin(\beta-\alpha)\sin\alpha $$ Чтобы двигаться против ветра зигзагами, необходимо периодически изменять углы $\alpha$ и $\beta$ на противоположные, что сохранит значение полученной функции. Тогда для решения задачи необходимо исследовать на экстремум функцию $f(\alpha{,}\beta)$, равную: $$f(\alpha{,}\beta)=\cos^2\beta\sin(\beta-\alpha)\sin\alpha $$ Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $$\sin x\sin y=\cfrac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} $$ Тогда для $f(\alpha{,}\beta)$ имеем: $$f(\alpha{,}\beta)=\cfrac{\cos^2\beta(\cos(\beta-2\alpha)-\cos\beta)}{2} $$ При любом фиксированном значении $\beta$ максимальное значение функции достигается при $\alpha=\beta/2$, поскольку $\cos(\beta-2\alpha)\leq 1$. Тогда задача сводится к исследованию функции одной переменной $x=\beta$: $$f(x)=\cfrac{x^2-x^3}{2} $$ Продифференцируем $f(x)$: $$\cfrac{df}{dx}=x-\cfrac{3x^2}{2}=0\Rightarrow x=0{,}\cfrac{2}{3} $$ Значение $x=0$ соответствует покою парусника, а $x=2/3$ – движению с максимальной дрейфовой скоростью. Таким образом:

Ответ: $$\alpha=\cfrac{\arccos(2/3)}{2}\approx 24{.}1^{\circ}\qquad \beta=\arccos(2/3)\approx 48{.}2^{\circ} $$

Также углы парусника, соответствующие максимальной скорости дрейфа, могут быть найдены из условий: $$\cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\alpha}=0\qquad \cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\beta}=0 $$ Рассмотрим дифференцирование по $\alpha$: $$\cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\alpha}=\cos^2\beta\left(\cos\alpha\sin(\beta-\alpha)-\sin\alpha\cos(\beta-\alpha)\right)=0\Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}(\beta-\alpha)\Rightarrow \beta=2\alpha $$ Рассмотрим дифференцирование по $\beta$: $$\cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\beta}=-\sin 2\beta\sin(\beta-\alpha)+\cos^2\beta\cos(\beta-\alpha)=0\Rightarrow \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}(\beta-\alpha)=\cfrac{1}{2} $$ Подставляя $\alpha=\beta/2$: $$\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}(\beta/2)=\cfrac{1}{2}\Rightarrow 4\sin^2(\beta/2)\cos(\beta/2)=\cos\beta\cos(\beta/2)\Rightarrow 2-2\cos\beta=\cos\beta $$ Таким образом:

Ответ: $$\alpha=\cfrac{\arccos(2/3)}{2}\approx 24{.}1^{\circ}\qquad \beta=\arccos(2/3)\approx 48{.}2^{\circ} $$