Logo
Logo

Оптимальный парусник

A1  5,00 Определите, под какими углами $\alpha$ и $\beta$ надо выставить парусник и парус, чтобы дрейфовая скорость движения была максимальна.

Полная сила, с которой воздух действует на парус, направлена перпендикулярно его плоскости. Для неё имеем:
$$F=\cfrac{dm}{dt}u_n=\rho S_nu\cdot u_n
$$
где $dm/dt$ — масса воздуха, налетающая на парус в единицу времени, $\rho$ — плотность воздуха, $S_n$ — площадь поперечного сечения потока воздуха, попадающего на парус, а $u_n$ — компонента скорости воздуха, перпендикулярная поверхности паруса.
Пусть $S$ — площадь паруса, а $u$ — скорость ветра. Тогда:
$$S_n=S\cos\beta\qquad u_n=u\cos\beta
$$
откуда:
$$F=\rho Su^2\cos^2\beta
$$
Запишем условие равновесия для парусника:
$$F_\tau=kv
$$
где $v$ — скорость движения парусника, а $k$ — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления воды и скоростью парусника.
Для $F_\tau$ имеем:
$$F_\tau=F\cos(\pi/2-\beta+\alpha)=F\sin(\beta-\alpha)
$$
Таким образом:
$$\rho Su^2\cos^2\beta\sin(\beta-\alpha)=kv
$$
Для дрейфовой компоненты скорости парусника имеем:
$$v_\text{д}=v\sin\alpha=\cfrac{\rho Su^2}{k}\cos^2\beta\sin(\beta-\alpha)\sin\alpha
$$
Чтобы двигаться против ветра зигзагами, необходимо периодически изменять углы $\alpha$ и $\beta$ на противоположные, что сохранит значение полученной функции. Тогда для решения задачи необходимо исследовать на экстремум функцию $f(\alpha{,}\beta)$, равную:
$$f(\alpha{,}\beta)=\cos^2\beta\sin(\beta-\alpha)\sin\alpha
$$
Воспользуемся тригонометрическим тождеством:
$$\sin x\sin y=\cfrac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
$$
Тогда для $f(\alpha{,}\beta)$ имеем:
$$f(\alpha{,}\beta)=\cfrac{\cos^2\beta(\cos(\beta-2\alpha)-\cos\beta)}{2}
$$
При любом фиксированном значении $\beta$ максимальное значение функции достигается при $\alpha=\beta/2$, поскольку $\cos(\beta-2\alpha)\leq 1$. Тогда задача сводится к исследованию функции одной переменной $x=\beta$:
$$f(x)=\cfrac{x^2-x^3}{2}
$$
Продифференцируем $f(x)$:
$$\cfrac{df}{dx}=x-\cfrac{3x^2}{2}=0\Rightarrow x=0{,}\cfrac{2}{3}
$$
Значение $x=0$ соответствует покою парусника, а $x=2/3$ — движению с максимальной дрейфовой скоростью. Таким образом:

Ответ: $$\alpha=\cfrac{\arccos(2/3)}{2}\approx 24{.}1^{\circ}\qquad \beta=\arccos(2/3)\approx 48{.}2^{\circ}
$$

Также углы парусника, соответствующие максимальной скорости дрейфа, могут быть найдены из условий:
$$\cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\alpha}=0\qquad \cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\beta}=0
$$
Рассмотрим дифференцирование по $\alpha$:
$$\cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\alpha}=\cos^2\beta\left(\cos\alpha\sin(\beta-\alpha)-\sin\alpha\cos(\beta-\alpha)\right)=0\Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}(\beta-\alpha)\Rightarrow \beta=2\alpha
$$
Рассмотрим дифференцирование по $\beta$:
$$\cfrac{\partial f(\alpha{,}\beta)}{\partial\beta}=-\sin 2\beta\sin(\beta-\alpha)+\cos^2\beta\cos(\beta-\alpha)=0\Rightarrow \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}(\beta-\alpha)=\cfrac{1}{2}
$$
Подставляя $\alpha=\beta/2$:
$$\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}(\beta/2)=\cfrac{1}{2}\Rightarrow 4\sin^2(\beta/2)\cos(\beta/2)=\cos\beta\cos(\beta/2)\Rightarrow 2-2\cos\beta=\cos\beta
$$
Таким образом:

Ответ: $$\alpha=\cfrac{\arccos(2/3)}{2}\approx 24{.}1^{\circ}\qquad \beta=\arccos(2/3)\approx 48{.}2^{\circ}
$$