Pho.rs: Колебания пузыря

A1 ^0.70 Найдите возвращающую силу давления, действующую на малую площадь $dS$ поверхности пузырька, при адиабатическом изменении его радиуса от $R$ до $R+x$, ($x\ll{R}$).

1 Уравнение адиабаты $$pV^\gamma=const $$	0.10
2 Изменение давления: $$\Delta{p}=\cfrac{3\gamma x}{R}p_0 $$	0.40
3 Для полной сил получено $$F=\Delta{p}\cdot{4\pi R^2}=12\pi\gamma p_0Rx\quad\left(\gamma=\cfrac{7}{5}\right) $$	0.20

A2 ^1.00 Найдите энергию, необходимую для изменения $x$ от $0$ до некоторого малого значения $x_0$.

1 $$A=\int\limits_0^x Fdx $$	0.70
2 Получен правильный ответ: $$W_p=6\pi\gamma p_0Rx^2_0 $$	0.30

A3 ^1.00 Радиальная скорость воды у поверхности пузырька равна $dx/dt$. Учитывая, что вода несжимаема, найдите радиальную скорость воды на расстоянии $r$ ($r>R$) от центра пузырька.

1 Равенство потоков жидкости через концентрические с пузырьком сферы $vr^2=const$.	0.80
2 Получен правильный ответ: $$v(r)=\cfrac{dx}{dt}\left(\cfrac{R}{r}\right)^2 $$	0.20

A4 ^1.00 Найдите полную кинетическую энергию воды.

1 Кинетическая энергия сферического слоя	0.20
2 Использовано уравнение неразрывности (п.$\textbf{mathrm}$)	0.10
3 $$W_k=\int\limits_R^{\infty}\cfrac{v^2\cdot{4\pi r^2dr}}{2} $$	0.50
4 Получен правильный ответ: $$W_k=2\pi\rho R^3 \left(\cfrac{dx}{dt}\right)^2 $$	0.20

A5 ^0.50 Если пренебречь массой воздуха, кинетическая энергия, найденная в предыдущем пункте, и будет кинетической энергией колеблющегося пузырька. Найдите частоту колебаний.

1 Получен правильный ответ:
$$\omega=\sqrt{\cfrac{3\gamma p_0}{\rho R^2}}
$$

0.50

B1 ^0.20 Найдите вклад поверхностного натяжения в энергию, необходимую для создания в воде пузырька радиуса $R$.

1 Получен правильный ответ:
$$W_\sigma=4\pi R^2\sigma
$$

0.20

B2 ^1.60 Найдите частоту колебаний пузыря, учтя влияние поверхностного натяжения воды. Давление снаружи пузырька считайте равным $p_0$.

1 Уравнение адиабаты.	0.10
2 Нахождение равновесного давления внутри пузырька: $$p=p_0+\cfrac{2\sigma}{R} $$	0.20
3 Изменение давления внутри пузырька при увеличении радиуса: $$\Delta{p}=-\cfrac{3\gamma x}{R}p $$	0.40
4 Возвращающая сила давления: $$F=4\pi R^2x\left(\cfrac{3\gamma p_0}{R}+\cfrac{2\sigma}{R^2}(3\gamma-1)\right) $$	0.40
5 Записан ЗСЭ.	0.30
6 Получен правильный ответ для частоты: $$\omega=\sqrt{\cfrac{3\gamma\left(p_0+2\cfrac{2\sigma}{R}\right)-\cfrac{2\sigma}{R}}{\rho R^2}}\quad\text{или}\quad \omega=\sqrt{\cfrac{3\gamma p_0-\cfrac{2\sigma}{R}}{\rho R^2}}\quad\text{в зависимости от того, где давление $p_0$.} $$	0.20

Колебания пузыря

Разбалловка