Pho.rs: Циклоида

A1 ^0.80 Найдите координаты $x(t)$, $y(t)$ точки $P$.

1 $x(t)=R(\omega t-\sin\omega t)$	0.40
2 $y(t)=R(1-\cos\omega t)$	0.40

A2 ^0.80 Найдите длину $s(t)$ дуги циклоиды от точки $O$ до $P$ и полную длину кривой $OAB$.

1 $s(t)=4R\left(1-\cos\cfrac{\omega t}{2}\right)$	0.50
2 $\text{OAB}=8R$	0.30

A3 ^0.80 Выразите $y$ как функцию $s$.

1 $y=s\left(1-\cfrac {s}{8R}\right)$

0.80

A4 ^0.80 Выразите $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ вдоль циклоиды через $y$.

1 $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\operatorname{sign}(\pi R - x)\cdot\sqrt{\cfrac{2R}y-1}$	0.80
2 Написано всюду положительное выражение для производной, нет никакого указания на смену знака после вершины	-0.30

A5 ^0.80 Найдите скорость $v$ тела в точке с координатой $y$, если в вершине циклоиды $A$ тело имеет скорость $v_0$.

1 $v=\sqrt{v_0^2-2g(y+2R)}$

0.80

A6 ^0.70 Подставив в полученное выражение зависимость $y$ от $s$, найдите тангенциальную компоненту ускорения тела $a=\cfrac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}$.

1 $a=-\cfrac g{4R}(s-4R)$
(через дифференцирование ЗСЭ или через $a=\cfrac{\mathrm d^2 s}{\mathrm dt^2} = \cfrac{\mathrm d v}{\mathrm d s}\cfrac{\mathrm d s}{\mathrm d t} = \cfrac{\mathrm d v}{\mathrm d s}\cdot v$)

0.70

A7 ^0.30 Считая, что $s$ изменяется со временем гармонически, получите выражение для периода колебаний $T$ тела вокруг вершины циклоиды $A$.

1 $T=4\pi\sqrt{\cfrac{R}{g}}$

0.30

B1 ^0.80 Найдите связь между скоростями тела $v_1$ и $v_2$ и углами падения $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

1 $\cfrac{\sin\alpha_1}{v_1}=\cfrac{\sin\alpha_2}{v_2}$ (можно без доказательства)

0.80

B2 ^1.00 Получите выражение для $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ через $y$ для траектории тела.

1 $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\sqrt{\cfrac{y_0}{y}-1}$	1.00
2 Отсутствует знак "минус" перед корнем	-0.30

B3 ^0.50 Выразите время $T$, необходимое для достижения телом точки $B$, через $h$ и $L$.

1 Время на вертикальном спуске: $t_1 = \sqrt{\cfrac{2h}{g}}$	0.20
2 $T=2\sqrt{\cfrac{2h}{g}}+\cfrac {L}{\sqrt{2gh}}$	0.50

B4 ^0.70 Найдите, при каком $h$ это время будет минимальным $T_\mathrm m$. Найдите $h$ и $T_\mathrm m$ численно при $L=500\ км$.

1 Минимум при $h = L/4$	0.30
2 $h = 125~\text{км}$	0.10
3 $T_m = \sqrt{\cfrac{8L}{g}}$ (засчитывается автоматически при верном численном ответе)	0.20
4 $T_m = 639~\text{с} = 10.6~\text{мин}$	0.10

B5 ^1.00 Найдите время $T_\min$, за которое тело перемещается из точки $A$ в точку $B$. Выразите ответ через $L$. Найдите $T_\min$ численно при $L=500\ км$.

1 $T_\min=\sqrt\frac{2\pi L}g$	0.80
2 $T_\min = 566~\text{с} = 9.4~\text{мин}$	0.20

B6 ^1.00 В какой точке тела $\bf1$ и $\bf2$ столкнутся? Если столкновение было абсолютно упругим, на какую максимальную высоту поднимется в дальнейшем тело $\bf2$?

1 Обоснование, что столкнутся внизу	0.30
2 Абсолютно упругий удар – обмен скоростями	0.40
3 Тело $2$ поднимется до точки $B$ (т.е. до высоты $y=0$)	0.30

Циклоида

Разбалловка