Pho.rs: Циклоида

A1 ^0.80 Найдите координаты $x(t)$, $y(t)$ точки $P$.

Ответ: \[\begin{array}{l}x(t)=R\omega t-R\sin\omega t\\y(t)=R-R\cos\omega t\end{array}\]

A2 ^0.80 Найдите длину $s(t)$ дуги циклоиды от точки $O$ до $P$ и полную длину кривой $OAB$.

Ответ: \[s(t)=4R\left(1-\cos\frac{\omega t}2\right),\quad OAB=8R\]

A3 ^0.80 Выразите $y$ как функцию $s$.

Ответ: \[y=s\left(1-\frac s{8R}\right)\]

A4 ^0.80 Выразите $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ вдоль циклоиды через $y$.

Ответ: \[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\operatorname{sign}(x-\pi R)\cdot\sqrt{\frac{2R}y-1}\]

A5 ^0.80 Найдите скорость $v$ тела в точке с координатой $y$, если в вершине циклоиды $A$ тело имеет скорость $v_0$.

Ответ: \[v=\sqrt{v_0^2-2g(y+2R)}\]

A6 ^0.70 Подставив в полученное выражение зависимость $y$ от $s$, найдите тангенциальную компоненту ускорения тела $a=\cfrac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}$.

Ответ: \[a=-\frac g{4R}(s-4R)\]

A7 ^0.30 Считая, что $s$ изменяется со временем гармонически, получите выражение для периода колебаний $T$ тела вокруг вершины циклоиды $A$.

Ответ: \[T=4\pi\sqrt\frac Rg\]

B1 ^0.80 Найдите связь между скоростями тела $v_1$ и $v_2$ и углами падения $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Ответ: \[\frac{\sin\alpha_1}{v_1}=\frac{\sin\alpha_2}{v_2}\]

B2 ^1.00 Получите выражение для $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ через $y$ для траектории тела.

Ответ: \[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\sqrt{\frac{y_0}y-1}\]

B3 ^0.50 Выразите время $T$, необходимое для достижения телом точки $B$, через $h$ и $L$.

Ответ: \[T=2\sqrt\frac{2h}g+\frac L{\sqrt{2gh}}\]

B4 ^0.70 Найдите, при каком $h$ это время будет минимальным $T_\mathrm m$. Найдите $h$ и $T_\mathrm m$ численно при $L=500\ км$.

Ответ: \[h=\frac L4=125\ км,\quad T_\mathrm m=2\sqrt\frac{2L}g=639\ с\]

B5 ^1.00 Найдите время $T_\min$, за которое тело перемещается из точки $A$ в точку $B$. Выразите ответ через $L$. Найдите $T_\min$ численно при $L=500\ км$.

Ответ: \[T_\min=\sqrt\frac{2\pi L}g=566\ с\]

B6 ^1.00 В какой точке тела $\bf1$ и $\bf2$ столкнутся? Если столкновение было абсолютно упругим, на какую максимальную высоту поднимется в дальнейшем тело $\bf2$?

Ответ: Тела столкнутся в вершине циклоиды, тело $\bf2$ поднимется до высоты $y=0$.

Циклоида

Решение