Pho.rs: Асинхронный электродвигатель

Условие

Edu

Электродвигатели — это устройства, преобразующие электрическую энергию в механическую, на сегодняшний день совершенно незаменимые в быту и в производстве. В этой задаче мы рассмотрим одну из их разновидностей — асинхронный двигатель.

Принцип работы асинхронного двигателя упрощённо показан на рисунке $\it1$. Постоянный магнит вращается вокруг оси симметрии, и между его полюсами помещена прямоугольная катушка $ABCD$, которая может вращаться без трения вокруг той же оси. Создаваемое около катушки магнитное поле можно считать однородным и постоянным по величине. При протекании по рамке тока магнитное поле создаёт момент силы, стремящийся повернуть её вокруг оси вращения.

Рис. 1

Обозначим ось вращения катушки как $z$, как показано на рисунке $\it2$. Магнитное поле имеет индукцию $B$, перпендикулярно оси $z$ и вращается вокруг неё с угловой скоростью $\omega_B$. Направление поля будем задавать углом $\theta_B$, который оно образует с осью $x$ (будем считать $\theta_B(t=0)=0$). Количество витков в катушке равно $n$, а её сопротивление равно $R$. $AB=a$, $BC=b$.

В пунктах $\mathbf{A1}-\mathbf{A2}$ катушка считается зафиксированной перпендикулярно оси $x$.

Рис. 2

A1 ^0.80 Найдите ток $I(t)$, протекающий через катушку. В каком направлении течёт этот ток при $\theta=\cfrac\pi2$, $A\to B$ или $B\to A$?

A2 ^0.60 Найдите суммарный момент $N(t)$ сил, действующих на рамку.

В дальнейшем считайте, что катушка может вращаться вокруг оси $z$ без трения. Угол между нормалью к катушке и осью $x$ обозначим $\theta_C$.

A3 ^0.80 Выразите угол $\theta$ между магнитным полем и нормалью к поверхности катушки через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$ и найдите индукционный ток $I(t)$, протекающий через неё.

A4 ^0.60 Найдите крутящий момент $N(t)$, создаваемый катушкой. Выразите ответ через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$.

Хотя $N(t)$ и осциллирует, можно считать, что в реальном асинхронном двигателе катушка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_C\ ( > 0)$.

A5 ^0.60 Найдите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента при постоянной угловой скорости $\omega_C$ вращения катушки.

Теперь учтём $\itсамоиндукцию$ катушки: будем считать её индуктивность равной $L$.

A6 ^0.90 Покажите, что для тока $I(t)$ можно получить следующее дифференциальное уравнение:\[\alpha\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}I(t)+I(t)=\beta\omega\sin\omega t.\]Выразите $\alpha$, $\beta$ и $\omega$ через $B$, $n$, $S$, $\omega_B$, $\omega_C$, $R$ и $L$.

A7 ^0.90 Решение уравнения, записанного в предыдущем пункте, можно представить в виде\[I(t)=f\sin\omega t+g\cos\omega t.\]Выразите $f$ и $g$ через $\alpha$, $\beta$ и $\omega$.

A8 ^0.60 Выразите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента с учётом самоиндукции через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$. Начертите график зависимости $\overline N$ от $\omega$.

Рассмотрим теперь асинхронный двигатель с энергетической точки зрения.

A9 ^0.60 Из закона сохранения энергии выведите уравнение, связывающее средний крутящий момент $\overline N$, угловые скорости поля $\omega_B$ и катушки $\omega_C$, среднеквадратичное значение $\overline{I^2}$ тока через катушку и её сопротивление $R$.

A10 ^0.60 Найдите мощность $\mathcal P$ Джоулевых потерь в обмотке катушки. Выразите ответ через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$.

В реальном асинхронном двигателе электромагниты остаются неподвижны, а вращающееся поле создаётся за счёт пропускания переменного тока с фазовыми сдвигами $\cfrac{2\pi}3$ относительно друг друга через три одинаковых катушки (рисунок $\it3$). Такой переменный ток называется трёхфазным и используется практически повсеместно.

Рис. 3