Pho.rs: Асинхронный электродвигатель

A1 ^0.80 Найдите ток $I(t)$, протекающий через катушку. В каком направлении течёт этот ток при $\theta=\cfrac\pi2$, $A\to B$ или $B\to A$?

A1. 1 Поток через катушку $\Phi=nBS\cos\omega_Bt$	0.20
A1. 2 Ток через катушку $I(t)=\frac{\omega_BnBS}R\sin\omega_Bt$	0.50
A1. 3 Направление тока $A\to B$	0.10

A2 ^0.60 Найдите суммарный момент $N(t)$ сил, действующих на рамку.

A2. 1 Момент силы $N(t)=\frac{\omega_B(nSB)^2}R\sin^2\omega_Bt$

0.60

A3 ^0.80 Выразите угол $\theta$ между магнитным полем и нормалью к поверхности катушки через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$ и найдите индукционный ток $I(t)$, протекающий через неё.

A3. 1 Угол между магнитным полем и нормалью к катушке $\theta=\omega_Bt-\theta_C$	0.10
A3. 2 Поток через катушку $\Phi=nBS\cos(\omega_Bt-\theta_C)$	0.20
A3. 3 Ток через катушку $I(t)=\left(\omega_B-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\theta_C\right)\frac{nBS}R\sin(\omega_Bt-\theta_C)$	0.50

A4 ^0.60 Найдите крутящий момент $N(t)$, создаваемый катушкой. Выразите ответ через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$.

A4. 1 Момент силы $N(t)=\left(\omega_B-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\theta_C\right)\frac{(nSB)^2}R\sin^2(\omega_Bt-\theta_C)$

0.60

A5 ^0.60 Найдите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента при постоянной угловой скорости $\omega_C$ вращения катушки.

A5. 1 Подстановка угловой скорости $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\theta_C=\omega_C$	0.10
A5. 2 Верное усреднение $\overline N=\frac{(\omega_B-\omega_C)(nSB)^2}{2R}$	0.50

A6 ^0.90 Покажите, что для тока $I(t)$ можно получить следующее дифференциальное уравнение:\[\alpha\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}I(t)+I(t)=\beta\omega\sin\omega t.\]Выразите $\alpha$, $\beta$ и $\omega$ через $B$, $n$, $S$, $\omega_B$, $\omega_C$, $R$ и $L$.

A6. 1 Поток через катушку $\Phi=nSB\cos(\omega_B-\omega_C)t+LI(t)$	0.20
A6. 2 Связь потока с током через катушку $RI(t)=-\dot\Phi$	0.10
A6. 3 Ответы $\alpha=\frac LR$, $\beta=\frac{nSB}R$, $\omega=\omega_B-\omega_C$	3 × 0.20

A7 ^0.90 Решение уравнения, записанного в предыдущем пункте, можно представить в виде\[I(t)=f\sin\omega t+g\cos\omega t.\]Выразите $f$ и $g$ через $\alpha$, $\beta$ и $\omega$.

A7. 1 Подстановка тока в уравнение $(f-\alpha\omega g)\sin\omega t+(g+\alpha\omega f)=\beta\omega\sin\omega t$	0.10
A7. 2 Система уравнений на $f$ и $g$\begin{cases}f-\alpha\omega g=\beta\omega,\\g+\alpha\omega f=0\end{cases}	0.20
A7. 3 Ответы $f=\frac{\beta\omega}{1+(\alpha\omega)^2}$, $g=-\frac{\alpha\beta\omega^2}{1+(\alpha\omega)^2}$	2 × 0.30

A8 ^0.60 Выразите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента с учётом самоиндукции через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$. Начертите график зависимости $\overline N$ от $\omega$.

A8. 1 Подстановка тока в уравнение $N(t)=nSB(f\sin\omega t+g\cos\omega t)\sin\omega t$	0.10
A8. 2 Усреднение $\overline N=\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)(nSB)^2}{2R\left[1+\left\{\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)L}R\right\}^2\right]}$	0.20
График:
A8. 4 — выходит из нуля и стремится к нулю на бесконечности	0.10
A8. 6 — имеет максимум в точке $\omega=R/L$	0.10
A8. 7 — значение функции в максимуме $\overline N_\max=\cfrac{(nsB)^2}{4L}$	0.10

A9 ^0.60 Из закона сохранения энергии выведите уравнение, связывающее средний крутящий момент $\overline N$, угловые скорости поля $\omega_B$ и катушки $\omega_C$, среднеквадратичное значение $\overline{I^2}$ тока через катушку и её сопротивление $R$.

A9. 1 Подкачиваемая мощность $\omega_B\overline N$, раскручивание рамки $\omega_C\overline N$, Джоулевы потери $R\overline{I^2}$	3 × 0.10
A9. 2 Уравнение $\left(\omega_B-\omega_C\right)\overline N=\overline{I^2}R$	0.30

A10 ^0.60 Найдите мощность $\mathcal P$ Джоулевых потерь в обмотке катушки. Выразите ответ через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$.

A10. 1 M1 Ответ $\mathcal P=R\overline{I^2}=\overline N=\frac{\left\{\left(\omega_B-\omega_C\right)nSB\right\}^2}{2R\left[1+\left\{\frac{\left(\omega_B-\omega_C\right)L}R\right\}^2\right]}$	0.60
A10. 2 M2 Подстановка тока $I(t)$ в выражение $R\overline{I^2}$	0.10
A10. 3 M2 Усреднение $\mathcal P=\frac{\left\{\left(\omega_B-\omega_C\right)nSB\right\}^2}{2R\left[1+\left\{\frac{\left(\omega_B-\omega_C\right)L}R\right\}^2\right]}$	0.50

Асинхронный электродвигатель

Разбалловка