При решении этой задачи считайте известными значения следующих величин:

• скорость света в вакууме $c=299792458~\fracмс$;
• масса электрона $m=9.1094\cdot10^{-31}~кг$;
• заряд электрона $e=1.6022\cdot10{-19}~Кл$;
• коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k_0=8.9876\cdot10^9~\frac{Н\cdotм^2}{Кл^2}$;
• постоянная Планка $h=6.6261\cdot10^{-34}~Дж\cdotс$;
• постоянная Больцмана $k=1.3807\cdot10^{-23}~\frac{Дж}К$;
• постоянная Ридберга $R=2.1799\cdot10^{-18}~Дж$.

Все промежуточные расчёты проводите с точностью в 5 значащих цифр, численные ответы приводите с точностью в 4 значащие цифры.

Часть A. Атом водорода.

Рассмотрим электрон массой $m$ и зарядом $-e$ в поле массивного положительного иона зарядом $e$, находящегося в начале координат. Электрон движется по окружности радиусом $r$ с некоторой скоростью $v$.

A1 Найдите отношение потенциальной энергии электрона $V$ к его полной механической энергии $E$.

В начале XX века было обнаружено, что классическая механика перестаёт работать на масштабах атомов $(\sim10^{-10}\ м)$, и Нильс Бор предложил новую модель атома. В ней электроны движутся по круговым орбитам вокруг протона, находясь при этом с одном из стационарных состояний с фиксированными значениями энергии. В этих состояниях длина т.н. волны де Бройля электронов $\lambda=\cfrac h{mv}$ удовлетворяет следующему соотношению:\[2\pi r=n\lambda,\quad n\in\mathbb N,\]где $h$ – постоянная Планка, а $n$ – так называемое главное квантовое число.

A2 Покажите, что радиус $r_n$ орбиты и энергию $E_n$ электрона с главным квантовым числом $n$ можно записать в виде:\[r_n=n^2a_0\quadи\quad E_n=-\frac R{n^2};\]выразите $a_0$ и $R$ через $h$, $k_0$, $m$ и $e$. Найдите численное значение $a_0$.

Состояние с $n=1$ называется основным состоянием атома, а состояния с $n\ge2$ – возбуждёнными.

При облучении атома водорода в состоянии $n$ электромагнитной волной с некоторой длиной $\lambda_{nn'}$ он может перейти в состояние с $n' > n$. Аналогично, при переходе атома из состояния с $n'$ в состояние с $n$ происходит излучение кванта света той же длины волны.

A3 Найдите численно длину волны $\lambda_{1,2}$, энергию $\Delta E_{1,2}$ и частоту $\nu_{1,2}$ электромагнитной волны, излучаемой при переходе атома водорода из состояния с $n'=2$ в состояние с $n=1$.

Атомы других элементов состоят из ядра и большого числа электронов, но когда один из электронов переходит в возбуждённое состояние с большим квантовым числом (к примеру, $n > 100$), всю остальную часть атома можно с хорошей точностью рассматривать как точечный положительный заряд, и работать в "водородном" приближении. Такие водородоподобные атомы называются ридберговскими.

Часть B. Рекомбинация атомов углерода.

Водород – самый распространённый элемент во Вселенной, содержание других же элементов (особенно тяжёлых) очень мало. Для элемента $\mathrm X$ введём распространённость как $A_\mathrm X=\frac{[\mathrm X]}{[\mathrm H]}$, где квадратные скобки означают количество атомов и ионов данного элемента. В нашей галактике имеются области повышенной концентрации газа, которые называются межзвёздными облаками. В этих облаках в результате захвата свободных электронов ионами возможно образование ридберговских атомов. Этот процесс называют рекомбинацией. В дальнейшем эти ридберговские атомы при переходах в состояние с главным квантовым числом $n$ из состояния с $n'=n+1$ излучают радиоволны. Такое излучение называют рекомбинационными линиями $\mathrm Cn\alpha$.

Как и видимый свет, космические радиоволны практически не поглощаются атмосферой, поэтому их можно наблюдать на наземной аппаратуре. При наблюдении объекта Кассиопея A в радиодиапазоне были обнаружены две линии поглощения $\nu=16.74~МГц$ и $\nu=29.93~МГц$, которые предположительно относятся к рекомбинационной линии $Cn\alpha$.

Распространённость углерода во Вселенной составляет $A_\mathrm C=0.00037$.

B1 Найдите квантовые числа $n$ возбуждённых электронов в ридберговских атомах углерода, которые ответственны за это излучение.

Примечание: при $n\gg1$ имеет место равенство:\[\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}=\frac2{\left(n+\frac12\right)^3}\left\{1+\mathcal O\left(\frac1{n^2}\right)\right\},\]где $\mathcal O\left(\frac1{n^2}\right)$ представляет собой члены второго и более порядка по $\frac1n$.

Рассмотрим теперь процесс рекомбинации атома углерода. Формульно его можно записать в виде:\[\mathrm C^++e\to\mathrm C^*(n).\]В начале процесса рекомбинации на покоящийся ион углерода $\mathrm C^+$ налетает свободный электрон с кинетической энергией $E_e$. В результате ионный остаток атома углерода переходит в первое возбуждённое состояние с энергией $\Delta E_\mathrm{exc}=1.27\cdot10^{-27}~Дж$ $\left(\frac{\Delta E_\mathrm{exc}}k=92~К\right)$ относительно основного, а электрон захватывается и переходит на орбиту с главным квантовым числом $n$ и энергией $E_n$; избыточная энергия переходит в кинетическую энергию $E_k$ нового атома $C^*(n)$.

B2 Получите выражение, связывающее $E_e$ и $E_k$, если массы электрона и иона углерода равны соответственно $m$ и $M$.

B3 Выразите энергию электрона $E_e$ через $\Delta E_\mathrm{exc}$, $E_n$, $M$ и $m$.

При этом ширина линий рекомбинационного излучения позволяет определить характеристики межзвёздной среды. По результатам измерения ширины линий была получена концентрация электронов в областях рекомбинации $N_e\approx0.02~см^{-3}$. Считайте, что межзвёздная среда состоит из атомов водорода, углерода, ионов углерода и свободных электронов, которые возникают при ионизации атомов углерода.

Примечание: В дальнейшем округляйте численные ответы до двух значащих цифр.

B4 Найдите численно концентрацию $N_\mathrm H$ атомов водорода в межзвёздной среде, если всего ионизовано $\xi=60\text%$ углерода.

B5 Найдите численно давление $P$ в межзвёздной среде, если её температура равна $T_\mathrm H=75~К$.

Как видите, изучение рекомбинационного излучения может заметно помочь при исследовании параметров разреженных межзвёздных сред.