Logo
Logo

Кривое зеркало

A1  5.00 При какой максимальной величине прогиба $h$ луч все еще будет выходить из системы с противоположной стороны?

Будем характеризовать движение луча в оптической системе функцией угла падения $\alpha(x)$ на верхнее зеркало от координаты $x$. Также, в системе проходит много отражений, так что $\alpha(x)$ можно считать непрерывной медленно меняющейся функцией (это соответствует пределу $h \to 0$).

Если луч отразился от верхнего зеркала в точке $x$, то следующая точка отражения будет на расстоянии $\Delta x=2D \alpha(x)$ (без учета поправок меньшего порядка малости).

Обозначив за $R$ радиус нижней поверхности и рассмотрев отражение луча от неё, легко понять, что при отражении в точке $x$ (координата отсчитывается от центра системы) угол падения меняется на $\Delta \alpha=2\beta=2\frac{x}{R}$, где $\beta$ - угол наклона касательной к окружности в точке $x$.

Поделив полученные равенства друг на друга и заменив приращения дифференциалами, получим диф. уравнение
\[ \frac{d x}{ d\alpha } = RD \frac{\alpha}{x}\]

Предельный случай, когда луч перестает проходить через систему, соответствует $\alpha(0)$.

Тогда, разделив переменные и проинтегрировав в нужных пределах, получим
\[-\frac{\alpha_0^2}{2} = -\frac{l^2}{2RD},\]
где $l$ - расстояние от края системы до её центра по горизонтали. Это расстояние можно найти из геометрических соотношений для окружности (например, т. Пифагора) $l^2=2Rh$. В итоге $h=\frac{D\alpha_0^2}{2}$.

Ответ: \[h=\frac{D\alpha_0^2}{2}\]