Сильные постоянные магниты изготавливают из сплава NdFeB, гистерезисная петля которого достаточно широкая, так что намагниченность $J$ можно считать постоянной; в дальнейшем считайте, что $J\equiv 1.5\,\mathrm{Тл}/\mu_0$, где $\mu_0=4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{Н}/\mathrm{А}^2$, а все постоянные магниты намагничены однородно.

Намагниченность определяется как объемная плотность магнитного дипольного момента вещества.

Подсказка 1. Следующее равенство может быть полезным: $$\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$

Подсказка 2. Магнит в форме шара создает магнитное поле, которое совпадает с полем точечного диполя. Магнитные поля, создаваемые магнитами другой формы, описываются формулой для поля точечного диполя только на расстояниях, много больше их диаметра.

Подсказка 3. Электрическое поле точечного электрического диполя и магнитное поле точечного магнитного диполя как функции дипольного момента и координат аналогичны, то есть одна может быть получена из другой умножением на соответствующую константу.

Подсказка 4. Индуцированное в некоторой области за счет граничных условий поле можно заменить полем некоторой конфигурации источников поля вне этой области.

Часть A. Взаимодействие магнитов (4.5 балла)

На расстояниях от магнита много больше его размера, создаваемое им магнитное поле можно приблизить магнитным полем точечного диполя с тем же магнитным моментом $\vec m$,
$$\vec B=\frac {\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_\parallel-\vec m_\perp).$$

Здесь $r=|\vec r|$, а дипольный момент представлен в виде суммы компонент, параллельной и перпендикулярной радиус-вектору $\vec r$, проведенному от диполя до точки наблюдения, $\vec m=\vec m_\perp+\vec m_\parallel$.

A1  ^0.60 Найдите величину силы взаимодействия между двумя коаксиальными цилиндрическими магнитами диаметра $d=20\,\mathrm{мм}$ и толщины $h=2\,\mathrm{мм}$, намагниченность которых направлена вдоль оси цилиндров, если расстояние между центрами магнитов $L=20\,\mathrm{см}$. Считайте, что $L \gg d, h$.

A2  ^0.40 Поле магнита из части A1 на расстояниях много больше $\frac h2$ совпадает с полем кругового витка с током $I$. Найдите $I$.

A3  ^1.00 Найдите силу взаимодействия магнитов из A.1, если теперь расстояние между ними $L={5}\,\mathrm{мм}$. Считайте, что $d \gg L \gg h$.

A4  ^1.00 Одинаковые шаровые магниты диаметра $\delta={5}\,\mathrm{мм}$, скрепленные друг с другом силой магнитного притяжения, образуют цепочку. Чему равна максимальная длина $l$ такой цепочки, при которой она еще не разрывается под действием собственного веса, если ее подвесить за верхний магнит? Плотность магнитов из NdFeB $\rho={7500}\,\mathrm{кг}/\mathrm{м}^3$.

A5  ^1.50 Рассмотрим цепочку из пункта A.4. Получите выражение для величины магнитного поля $B$ в точке $P$, которая находится на расстоянии $r$; от одного из концов цепочки $O$, а угол между цепочкой и линией $OP$; равен $\theta$; (см. рисунок). Считайте, что $l\gg r$; и $r\sin\theta \gg \delta$.

Часть B. Взаимодействие с ферромагнетиком (3.5 балла)

Кроме постоянных магнитов у нас есть пластины из ферромагнетика, используемого в сердечниках трансформаторов. Считайте, что у такого ферромагнетика очень большая постоянная магнитная проницаемость $\mu_r\sim 10^5$.

Подсказка 5. Большая проницаемость материала объекта означает, что снаружи вблизи поверхности объекта силовые линии магнитного поля практически перпендикулярны этой поверхности. Это похоже на поведение силовых линий электрического поля вблизи внешней поверхности проводника.

B1  ^1.00

Шаровой магнит из пункта A4 расположен на расстоянии $s=\delta$ от толстой бесконечной ферромагнитной пластины. Намагниченность магнита направлена перпендикулярно пластине. Нарисуйте силовые линии магнитного поля в плоскости, приведенной в листе ответов. На рисунке в листе ответов отмечены три точки (обозначены 1, 2 и 3); вам нужно нарисовать силовые линии, проходящие через эти три точки. Нарисуйте их целиком настолько, насколько они поместятся в область построения на рисунке.

B2  ^1.00

Шаровой магнит приведен в прямой контакт с плоскостью. В какую сторону направлен вектор намагниченности шарового магнита в положении устойчивого равновесия? Чему равна нормальная сила реакции между пластиной и магнитом? Отметьте правильное (или правильные) направления галочкой в соответствующей рамке в листе ответов. Неправильные отметки приведут к уменьшению баллов.

B3  ^1.50 Магнит из пункта A.1 помещен между двумя толстыми круговыми ферромагнитными пластинами диаметра $D=2d$, так что плоские стороны магнита прижаты к плоским сторонам пластин и все три диска расположены коаксиально. Найдите магнитную силу $F$ действующую на каждую из пластин.

Подсказка: Вы можете пренебречь всеми магнитными полями вне ферромагнитных пластин и промежутка между ними.

Часть C. (Анти)ферромагнитное упорядочение (2 балла)

Магнитные свойства материалов определяются магнитными дипольными моментами электронов и атомных ядер. Если дипольные моменты ориентируются параллельно друг другу, то создаваемое ими поле увеличивается — это ферромагнитные материалы. Если же рядом с каждым магнитным диполем есть диполь с антипараллельный моментом, то их поля компенсируют друг друга — это антиферромагнитные материалы.

В дальнейшем мы рассматриваем большое количество шаровых магнитов из части A4, расположенных в узлах двумерной решетки; ниже приведены фотографии конфигураций магнитов в устойчивом равновесии. Считайте, что все вектора намагниченности лежат в плоскости рисунка. В вычислениях учитывайте взаимодействие только с ближайшими соседями (на рисунке в C1 у каждого магнита четыре ближайших соседа , на рисунке в C2 — шесть).

C1  ^0.80 Изобразите направления вектора намагниченности в магнитах на рисунке ниже. Вам не нужно доказывать, что предложенная вами конфигурация является единственно возможной. Но вам нужно доказать, что предложенная конфигурация является устойчивой. Найдите энергию, необходимую, чтобы достать один магнит из середины решетки, считая остальные магниты неподвижными. Эта конфигурация отвечает упорядочению в ферромагнитном или антиферромагнитном материале?

C2  ^1.20 Ответьте на такие же вопросы, как и в C1, для конфигурации, изображенной на рисунке ниже.