A1  ^0.60 Найдите величину силы взаимодействия между двумя коаксиальными цилиндрическими магнитами диаметра $d=20\,\mathrm{мм}$ и толщины $h=2\,\mathrm{мм}$, намагниченность которых направлена вдоль оси цилиндров, если расстояние между центрами магнитов $L=20\,\mathrm{см}$. Считайте, что $L \gg d, h$.

A1. 1 Магнитный момент магнита $m = \frac{\pi}{4} d^2 h J = 0.75 ~\text{А}\cdot \text{м}^2$	0.20
A1. 2 Энергия $W = - \vec{B} \vec{m}$	0.10
A1. 3 Сила $F_1 = \frac{dW}{dL}$	0.10
A1. 4 $F_1 = \frac{3 \mu_0 m^2}{2 \pi L^4}$	0.10
A1. 5 $F_1 =0.21~\text{мН}$	0.10

A2  ^0.40 Поле магнита из части A1 на расстояниях много больше $\frac h2$ совпадает с полем кругового витка с током $I$. Найдите $I$.

A2. 2 Молекулярные токи внутри сокращаются, остается только поверхностный ток	0.10
A2. 3 $m =I A$	0.10
A2. 4 $I = Jh$	0.10
A2. 5 $I = 2.4~\text{кА}$	0.10

A3  ^1.00 Найдите силу взаимодействия магнитов из A.1, если теперь расстояние между ними $L={5}\,\mathrm{мм}$. Считайте, что $d \gg L \gg h$.

A3. 1 Магниты заменены на прямые токи	0.30
A3. 2 $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi L}$	0.30
A3. 3 $F_ 2 = \pi d I B$	0.20
A3. 4 $F_2 = \frac{\mu_0 I^2 d}{2 L}$	0.10
A3. 5 $F_2 = 14~\text{Н}$	0.10

A4  ^1.00 Одинаковые шаровые магниты диаметра $\delta={5}\,\mathrm{мм}$, скрепленные друг с другом силой магнитного притяжения, образуют цепочку. Чему равна максимальная длина $l$ такой цепочки, при которой она еще не разрывается под действием собственного веса, если ее подвесить за верхний магнит? Плотность магнитов из NdFeB $\rho={7500}\,\mathrm{кг}/\mathrm{м}^3$.

A4. 1 Цепочка порвется в верхней точке	0.10
A4. 2 $M = \frac{\pi}{6} \rho \delta^3$	0.10
A4. 3 $F = M N g$	0.20
A4. 4 $F = \frac{3 \mu_0 m^2}{2 \pi \delta^4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$	0.20
A4. 5 $m = \frac{\pi}{6} J \delta^3$	0.20
A4. 6 $l = \frac{\mu_0 m^2 \pi^3}{60 M g \delta^3}$	0.10
A4. 7 $l = 6.6$ м	0.10

A5  ^1.50 Рассмотрим цепочку из пункта A.4. Получите выражение для величины магнитного поля $B$ в точке $P$, которая находится на расстоянии $r$; от одного из концов цепочки $O$, а угол между цепочкой и линией $OP$; равен $\theta$; (см. рисунок). Считайте, что $l\gg r$; и $r\sin\theta \gg \delta$.

A5. 2 Идея магнитных зарядов	0.40
A5. 3 $q = m/\delta$	0.40
A5. 4 $B =\frac{ \mu_0 q}{4 \pi r^2}$	0.40
A5. 5 $B = \frac{J \mu_0 \delta^2}{24 r^2}$	0.30

B1  ^1.00

B1. 1 Силовая линия 1	0.20
B1. 2 Силовая линия 2	0.40
B1. 3 Силовая линия 3	0.40
B1. 4 Если в b или c силовые линии не перпендикулярны поверхности	2 × -0.10
B1. 5 Если в b или c силовые линии не преломляются на поверхности	2 × -0.10
B1. 6 Если в b не показан сегмент справа от магнита	-0.10
B1. 7 Если в a и c силовые линии не образуют замкнутой петли	2 × -0.10

B2  ^1.00

B2. 1 Идея магнитного изображения	0.30
B2. 2 Правильное направление магнитного момента изображения $\vec{J}$	0.20
B2. 3 $F = \frac{3 \mu_0 m^2}{2 \pi \delta^4}$	0.20
B2. 4 $F = 5.9 ~\text{Н}$	0.10
B2. 5 Каждая правильная галочка	2 × 0.10
B2. 6 Каждая неправильная галочка (в сумме с предыдущими двумя пунктами не должно получиться отрицательное число)	3 × -0.10

B3  ^1.50 Магнит из пункта A.1 помещен между двумя толстыми круговыми ферромагнитными пластинами диаметра $D=2d$, так что плоские стороны магнита прижаты к плоским сторонам пластин и все три диска расположены коаксиально. Найдите магнитную силу $F$ действующую на каждую из пластин.

Подсказка: Вы можете пренебречь всеми магнитными полями вне ферромагнитных пластин и промежутка между ними.

B3. 1 $\vec{B}$ в щели однородное	0.20
B3. 2 $\vec{B}$ в магните однородное	0.20
B3. 3 $\vec{B}$ в щели и магните перпендикулярно дискам	0.10
B3. 4 $I = (B_1 + B_2 )h/\mu_0$	0.20
B3. 5 $\frac{\pi}{4} d^2 B_1 = \frac{\pi}{4} (D-d)^2 B_2$	0.20
B3. 6 $B_2 = I\mu_0/4 h$	0.10
B3. 7 $B_1 = 3 I \mu_0/4h$	0.10
B3. 8 $dW = \frac{\pi}{8 \mu_0}[d^2 B_1^2 + (D-d)^2 B_2^2]dx$	0.10
B3. 9 $F = \frac{dW}{dx}$	0.10
B3. 10 $F = \frac{3 \pi}{32} J^2 \mu_0 d^2$	0.10
B3. 11 $F = 210~\text{Н}$	0.10

C1  ^0.80 Изобразите направления вектора намагниченности в магнитах на рисунке ниже. Вам не нужно доказывать, что предложенная вами конфигурация является единственно возможной. Но вам нужно доказать, что предложенная конфигурация является устойчивой. Найдите энергию, необходимую, чтобы достать один магнит из середины решетки, считая остальные магниты неподвижными. Эта конфигурация отвечает упорядочению в ферромагнитном или антиферромагнитном материале?

C1. 1 Параллельные магнитные моменты на одной горизонтали притягиваются (см. реш.)	0.10
C1. 2 Антипараллельные магнитные моменты на одной вертикали притягиваются (см. реш.)	0.10
C1. 3 $\vec{B}$ от 4 ближайших соседей $\parallel \vec{m}$, поэтому момент равен нулю	0.10
C1. 4 Правильно отмечены 12 стрелок	0.10
C1. 5 Антиферромагнитный порядок	0.10
C1. 6 $W = \vec{B} \vec{m}$	0.10
C1. 7 $W = \frac{3 \mu_0 m^2}{2 \pi \delta^3}$	0.10
C1. 8 $W = 29 ~\text{мДж}$	0.10

C2  ^1.20 Ответьте на такие же вопросы, как и в C1, для конфигурации, изображенной на рисунке ниже.

C2. 1 $B_{3x} = \frac{\mu_0 m}{4 \pi l^3} (3 \cos^3 \beta -1)$	0.20
C2. 2 $B_{4x} = \pm \frac{\mu_0 m}{2 \pi \delta^3}$	0.10
C2. 3 $\vec{B}_5 = 4 \vec{B}_{3x} + 2 \vec{B}_{4x}$	0.10
C2. 4 $\vec{B}_5 = \frac{\mu_0 m}{2 \pi \delta^3} \left( - \frac{1}{2} \pm 2\right) \hat{x} $	0.10
C2. 5 $F_{5y} = \frac{d}{dy} \vec{B}_3 \vec{m}$	0.10
C2. 6 $F_{5y} = \mp \frac{dl}{dy} \frac{3 \mu_0 m^2}{16 \pi \delta^3}$	0.10
C2. 7 $F_{5y} $ - сила притяжения	0.10
C2. 8 Правильно отмечено 12 стрелок	0.10
C2. 9 Ферромагнитный порядок	0.10
C2. 10 $W = \frac{3 \mu_0 m^2}{4 \pi \delta^2}$	0.10
C2. 11 $W = 15~\text{мДж}$	0.10