Законы подобия описывают функциональную зависимость между двумя физическими величинами, которые масштабированы одна по отношению к другой в пределах значительных диапазонов их изменений. Эта функциональная зависимость может быть степенным законом, но есть и другие варианты. Зачастую, точные соотношения невозможно получить, но законы подобия получить можно.

Часть A. Спагетти (2 балла)

A1  ^2.00 Палочка спагетти с диаметром $d$ уравновешена в горизонтальном положении относительно середины. Если $d=1\,\mathrm{мм}$ палочка ломается под собственным весом, если её длина достигает $l=50\,\mathrm{см}$. Какова максимальная длина $l'$ палочки с диаметром $d'= 1\,\mathrm{см}$, при которой она не сломается под собственным весом?

Часть B. Замок из песка (2 балла)

B1  ^2.00 Средний объём песчинки крупнозернистого песка в 10 раз больше, чем у мелкозернистого песка. Мокрый мелкозернистый песок и мокрый крупнозернистый песок (в обоих случаях с оптимальным содержанием воды, обеспечивающим максимальную прочность сооружения из него) используются для создания двух цилиндров одинаковой формы и размеров. Прочность каждого цилиндра измеряется путём его сжатия между двумя параллельными пластинами. Цилиндр, сделанный из крупнозернистого (coarse-grained) песка, разрушается при силе сжатия пластин $F_{\rm c} = 10\,\mathrm{Н}$. Какая сила $F_{\rm f}$ нужна для разрушения цилиндра, сделанного из мелкозернистого (fine-grained) песка? Силу тяжести не учитывайте.

Часть C. Межзвёздное путешествие (2 балла)

C1  ^2.00 Космический корабль, совершающий межзвездное путешествие, движется с постоянным по величине «собственным» ускорением $g=10\,\mathrm{м/с^2}$, т.е. это - ускорение корабля в инерциальной системе отсчёта, в которой он в данный момент времени неподвижен. Пассажиры должны вернуться на Землю, прожив 50 лет. Максимальное расстояние, на которое корабль удалится от Земли, равно $d$. Если ускорение увеличить до $g'=15\,\mathrm{м/с^2}$, корабль сможет удалиться на расстояние $d'$. Чему равно отношение $d'/d$?

Подсказка 1. Вы можете воспользоваться формулой для сложения релятивистских скоростей. Но есть и другие подходы.

Подсказка 2. Вам, возможно, понадобятся гиперболические функции: $\cosh x=\frac12(\mathrm e^x+\mathrm e^{-x})$, $\sinh x=\frac12(\mathrm e^x-\mathrm e^{-x})$, $\tanh x=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}$.

Подсказка 3. В зависимости от вашего подхода, вам могут понадобиться следующие интегралы: $ \int \frac{\mathrm dx}{1-x^2}=\mathrm{atanh}\,x+C$, $ \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}=\mathrm{asinh}\,x+C$, $ \int \sinh x\mathrm dx=\cosh x+C$, где $\mathrm{asinh}\,x$ и $\mathrm{atanh}\,x$ — обратные функции от соответствующих гиперболических функций.

Часть D. Ощущение погружения (2 балла)

D1  ^2.00 Деревянный шар с радиусом $r_0$ плавает в воде. Если пренебречь вязкостью, частота малых колебаний была бы $\omega_0$, но из-за вязкости частота затухающих колебаний при вертикальном смещении будет $0.99\,\omega_0$.

Каков минимальный радиус $r_{\rm min}$ плавающего в воде деревянного шара, испытывающего малые колебания после смещения?

Подсказка: Сила вязкого сопротивления, действующая на тело в данном случае, пропорциональна его скорости относительно неподвижной жидкости и коэффициенту вязкости жидкости $\eta$, в которой движется тело. Коэффициент вязкости измеряется в $кг/(м\cdot с)$.