A1  ^2.00 Палочка спагетти с диаметром $d$ уравновешена в горизонтальном положении относительно середины. Если $d=1\,\mathrm{мм}$ палочка ломается под собственным весом, если её длина достигает $l=50\,\mathrm{см}$. Какова максимальная длина $l'$ палочки с диаметром $d'= 1\,\mathrm{см}$, при которой она не сломается под собственным весом?

A1. 1 $\tau \propto d^2 l^2$	0.40
A1. 2 $F \propto \sigma d^2$	0.50
A1. 3 $\tau \propto \sigma d^3$	0.50
A1. 4 $l \propto \sqrt{d}$	0.40
A1. 5 Ответ 158 см	0.20

B1  ^2.00 Средний объём песчинки крупнозернистого песка в 10 раз больше, чем у мелкозернистого песка. Мокрый мелкозернистый песок и мокрый крупнозернистый песок (в обоих случаях с оптимальным содержанием воды, обеспечивающим максимальную прочность сооружения из него) используются для создания двух цилиндров одинаковой формы и размеров. Прочность каждого цилиндра измеряется путём его сжатия между двумя параллельными пластинами. Цилиндр, сделанный из крупнозернистого (coarse-grained) песка, разрушается при силе сжатия пластин $F_{\rm c} = 10\,\mathrm{Н}$. Какая сила $F_{\rm f}$ нужна для разрушения цилиндра, сделанного из мелкозернистого (fine-grained) песка? Силу тяжести не учитывайте.

B1. 1 M1 $F_s \propto r_g$ или $F_p \propto r_g$	0.50
B1. 2 M1 $F_g \propto r_g$	0.50
B1. 3 M1 $F \propto F_g N_l$	0.50
B1. 4 M1 $F \propto r_g^{-1}$	0.30
B1. 5 M1 Ответ 21.5 Н	0.20
B1. 6 M2 Приложенное давление должно быть $\sim \Delta p$	0.60
B1. 7 M2 Радиус кривизны границ вода-воздух $\sim r_g$	0.60
B1. 8 M2 Давление Лапласа $\Delta p \sim \gamma / r_g$ ($\gamma$ — коэффициент поверхностного натяжения)	0.60
B1. 9 M2 Ответ 21.5 Н	0.20
B1. 10 M3 $E \propto F r_g$	0.50
B1. 11 M3 $E \propto \gamma \Delta A$	0.50
B1. 12 M3 $\Delta A \propto A$	0.50
B1. 13 M3 $F \propto r_g^{-1}$	0.30
B1. 14 M3 Ответ 21.5 Н	0.20
B1. 15 M4 $F \propto A$	0.60
B1. 16 M4 $F = F(A, r_g, \gamma)$	0.60
B1. 17 M4 $F \propto \frac{A \gamma}{r_g}$	0.60
B1. 18 M4 Ответ 21.5 Н	0.20

C1  ^2.00 Космический корабль, совершающий межзвездное путешествие, движется с постоянным по величине «собственным» ускорением $g=10\,\mathrm{м/с^2}$, т.е. это - ускорение корабля в инерциальной системе отсчёта, в которой он в данный момент времени неподвижен. Пассажиры должны вернуться на Землю, прожив 50 лет. Максимальное расстояние, на которое корабль удалится от Земли, равно $d$. Если ускорение увеличить до $g'=15\,\mathrm{м/с^2}$, корабль сможет удалиться на расстояние $d'$. Чему равно отношение $d'/d$?

Подсказка 1. Вы можете воспользоваться формулой для сложения релятивистских скоростей. Но есть и другие подходы.

Подсказка 2. Вам, возможно, понадобятся гиперболические функции: $\cosh x=\frac12(\mathrm e^x+\mathrm e^{-x})$, $\sinh x=\frac12(\mathrm e^x-\mathrm e^{-x})$, $\tanh x=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}$.

Подсказка 3. В зависимости от вашего подхода, вам могут понадобиться следующие интегралы: $ \int \frac{\mathrm dx}{1-x^2}=\mathrm{atanh}\,x+C$, $ \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}=\mathrm{asinh}\,x+C$, $ \int \sinh x\mathrm dx=\cosh x+C$, где $\mathrm{asinh}\,x$ и $\mathrm{atanh}\,x$ — обратные функции от соответствующих гиперболических функций.

C1. 1 M1 $F_x$ Лоренц-инвариантна	0.40
C1. 2 M1 $x \approx t$	0.40
C1. 3 M1 $d \tau = \frac{dt}{\gamma}$	0.20
C1. 4 M1 $\gamma^{-1} = m_0/m$	0.20
C1. 5 M1 $m = \sqrt{m_0^2 +p^2}$	0.20
C1. 6 M1 $p=m_0 g t$	0.20
C1. 7 M1 $t = \sinh (g\tau)/g$	0.20
C1. 8 M1 Ответ 480	0.20
C1. 9 M2 $v+dv = \frac{v+g d \tau}{1+vg d \tau}$	0.30
C1. 10 M2 $\frac{dv}{1-v^2}=gd\tau$	0.20
C1. 11 M2 $v=\tanh(g\tau)$	0.20
C1. 12 M2 $dt=\frac{d\tau}{\sqrt{1-v^2}}$	0.30
C1. 13 M2 $dt=\cosh(g\tau)d\tau$	0.20
C1. 14 M2 $\frac{L}{2}=\int v d t$	0.20
C1. 15 M2 $\frac{L}{2}=\int^{T/4}_0 \sinh(g\tau) d\tau$	0.20
C1. 16 M2 $\frac{L}{2}=\frac{1}{g} \left[ \cosh \left(\frac{gT}{4} \right) -1 \right] $	0.20
C1. 17 M2 Ответ 480	0.20

D1  ^2.00 Деревянный шар с радиусом $r_0$ плавает в воде. Если пренебречь вязкостью, частота малых колебаний была бы $\omega_0$, но из-за вязкости частота затухающих колебаний при вертикальном смещении будет $0.99\,\omega_0$.

Каков минимальный радиус $r_{\rm min}$ плавающего в воде деревянного шара, испытывающего малые колебания после смещения?

Подсказка: Сила вязкого сопротивления, действующая на тело в данном случае, пропорциональна его скорости относительно неподвижной жидкости и коэффициенту вязкости жидкости $\eta$, в которой движется тело. Коэффициент вязкости измеряется в $кг/(м\cdot с)$.

D1. 1 $\omega_0 \propto \sqrt{g/r}$	0.40
D1. 2 нет объяснения предыдущего	-0.20
D1. 3 $F_d \propto \eta r v$	0.60
D1. 4 нет объяснения предыдущего	-0.30
D1. 5 $\beta \propto 1/r^2$	0.30
D1. 6 $\frac{\beta^2}{\omega_0^2}= 1- \frac{\omega^2}{\omega_0^2}$	0.40
D1. 7 $\frac{\beta^2}{\omega_0^2} \propto \frac{1}{r^3}$	0.20
D1. 8 Ответ 0.271	0.10