Pho.rs: Гравитационная рогатка

Условие

Edu

Мы стремимся к тому, чтобы космический зонд, запущенный с Земли, покинул Солнечную Систему с помощью одной гравитационной рогатки, которая использует относительное движение и гравитацию одной из планет, вращающихся вокруг Солнца. В астрономических единицах (среднее расстояние между Солнцем и Землей = $1~\text{а. е}$.).

При решении задачи сделайте следующие приближения:
• Орбиты планет представляют собой круги, лежащие в одной плоскости.
• Вблизи планеты достаточно учитывать только гравитацию, обусловленную
этой планетой.

Введём обозначения: $v_{E}$ – скорость кругового движения Земли, $v_P$- скорость кругового движения планеты $P$, выполняющей роль гравитационной рогатки, $v_0$ – скорость Зонда сразу после прекращения гравитационного взаимодействия с Землёй, $x=\frac{R_P}{R_E}$ – отношение радиусов круговых орбит планеты $P$ и Земли, $v_1$ и $v_2$ - компоненты скорости Зонда, перпендикулярная и параллельная соответственно его радиус-вектору относительно Солнца в момент взаимодействия с планетой $P$.

A1 ^0.50 Выразите $v_P$ через $v_E$ и $x$.

A2 ^0.50 Выразите $v_1$ через $v_0$ и $x$.

A3 ^2.50 Выразите $v_2$ через $v_0$, $v_E$ и $x$. Каковы возможные значения $v_0/v_E$ при фиксированном $x$?

Пусть $v_{rel}$ – модуль скорости Зонда относительно планеты $P$ в момент начала гравитационного манёвра

A4 ^1.50 Выразите $v_{rel}$ через через $v_0$, $v_E$ и $x$.

A5 ^1.50 Выразите минимально возможное значение $v_{rel}$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул Солнечную систему, через $v_P$.

A6 ^2.50 Для каждого значения $x$ найдите минимально возможное значение $v_0/v_E$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул пределы Солнечной системы.