A1  ^0.50 Выразите $v_P$ через $v_E$ и $x$.

Из закона всемирного тяготения
$$v^2=\frac{GM}{r}
$$
откуда
$$v_p=\frac{v_E}{\sqrt{x}}
$$

A2  ^0.50 Выразите $v_1$ через $v_0$ и $x$.

Из закона сохранения момента импульса
$$v_1=\frac{v_0}{x}
$$

A3  ^2.50 Выразите $v_2$ через $v_0$, $v_E$ и $x$. Каковы возможные значения $v_0/v_E$ при фиксированном $x$?

Из закона сохранения энергии
$$\frac{v^2_0}{2}-\frac{GM}{R}=\frac{v^2_1}{2}+\frac{v^2_2}{2}-\frac{GM}{xR}
$$
или же
$$v^2_2=v^2_0\left(1-\frac{1}{x^2}\right)-2v^2_E\left(1-\frac{1}{x}\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(v^2_0\left(1+\frac{1}{x}\right)-2v^2_E\right)
$$
Тогда
$$\frac{v_0}{v_E}\geq{\sqrt{\frac{2x}{1+x}}}
$$

A4  ^1.50 Выразите $v_{rel}$ через через $v_0$, $v_E$ и $x$.

Для квадрата относительной скрости имеем
$$v^2_{rel}=v^2_2+\left(v_1-v_p\right)^2=v^2_0-2v^2_E\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{v^2_E}{x}-\frac{2v_0v_E}{\sqrt{x^3}}=v^2_0-\frac{2v_0v_E}{\sqrt{x^3}}+v^2_E\left(\frac{3}{x}-2\right)
$$

A5  ^1.50 Выразите минимально возможное значение $v_{rel}$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул Солнечную систему, через $v_P$.

Сразу после окончания взаимодействия с планетой $P$
$$v_p+v_{rel}\geq{v_p\sqrt{2}}
$$
или же
$$v_{rel}\geq{v_p(\sqrt{2}-1)}
$$

A6  ^2.50 Для каждого значения $x$ найдите минимально возможное значение $v_0/v_E$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул пределы Солнечной системы.

Комбинируя результаты пунктов $\textbf{A4}$ и $\textbf{A5}$. Обозначим $k=\frac{v_0}{v_E}$
$$v^2_0-\frac{2v_0v_E}{\sqrt{x^3}}+v^2_E\left(\frac{3}{x}-2\right)\geq{\frac{v^2_E(3-2\sqrt{2})}{x}}
$$
или же
$$k^2-\frac{2k}{\sqrt{x^3}}+2\left(\frac{\sqrt{2}}{x}-1\right)\geq{0}
$$
Решая квадратное уравнение и выбирая больший из корней
$$k\geq{\frac{1}{\sqrt{x^3}}+\sqrt{\frac{1}{x^3}+2-\frac{2\sqrt{2}}{x}}}
$$
Учтём также ограничения, возникающее в пункте $\textbf{A3}$
$$k\geq{\sqrt{\frac{2x}{x+1}}}
$$
Графики полученных зависимостей приведены на рисунке

Как видно, при досаточно больших $x$ условие, полученное только из энергетического анализа не всегда является достаточным, поскольку зонд может попросту не достичь орбиты радиуса $xR$. Найдём точку $x_0$, в которой оба условия совпадают
$$\frac{1}{\sqrt{x^3_0}}+\sqrt{\frac{1}{x^3_0}+2-\frac{2\sqrt{2}}{x_0}}=\sqrt{\frac{2x_0}{x_0+1}}
$$
$$1+2x^3_0-2\sqrt{2}x^2_0=\frac{2x^4_0}{x_0+1}-\frac{2\sqrt{2}x^2_0}{\sqrt{x_0}}+1
$$
После приведения
$$x_0-\frac{x^2_0}{x_0+1}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0+1}}
$$
Введём замену переменной $t=x_0+1$, тогда
$$t-1-\frac{(t-1)^2}{t}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t}}
$$
$$\frac{1}{t}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t}}+\sqrt{2}-1=0
$$
Решая полученное квадратное уравнения
$$\frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{2}\pm{(2-\sqrt{2})}}{2}=1;\sqrt{2}-1
$$
Первый из корней даёт $x_0=0$, что, разумеется, нам не подходит. Тогда
$$t=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}=x_0+1
$$
или
$$x_0=2+2\sqrt{2}
$$
Таким образом, окончательный ответ
$$k\geq{\frac{1}{\sqrt{x^3}}+\sqrt{\frac{1}{x^3}+2-\frac{2\sqrt{2}}{x}}}
$$
при $x < x_0$
и
$$k\geq{\sqrt{\frac{2x}{x+1}}}
$$
при $x>x_0$