A1  ^0.80 В момент времени $t=0$ цилиндр массы $M$ покоится и цилиндр массы $m$ также покоится в низшей точке. Цилиндр $M$ начинает вращаться. В некоторый момент времени $t$ угловое положение центра масс цилиндра $m$ равняется $\theta$ и при этом цилиндр $M$ совершил поворот на $\varphi$ радиан. На сколько радиан (обозначенный через $\psi$) повернулся цилиндр $m$ вокруг своей центральной оси относительной фиксированной линии (например, отрицательной части оси $Y$). Выразите ответ через $\theta$, $\varphi$, $R$ и $r$.

1 [Не оригинальная разбалловка]
2 $\psi = \frac{R}{r} \varphi - \frac{R - r}{r} \theta$
3 Правильный коэффициент перед $\varphi$	0.40
4 Правильный коэффициент перед $\theta$	0.40
5 Штраф за ошибку в знаке	-0.20

A2  ^0.20 Найдите угловое ускорение $\frac{d^2}{dt^2} \psi$ цилиндра $m$ относительно его центральной оси, проходящей через центр масс. Выразите ответ через $R$, $r$ и производные от $\theta$ и $\varphi$.

1 Правильно продифференцировано выражение, полученное в A1	0.10
2 $\ddot{\psi} = \frac{R}{r} \ddot{\varphi} - \frac{R-r}{r} \ddot{\theta}$	0.10

A3  ^1.80 Выведите уравнение для углового ускорения $\frac{d^2}{dt^2} \theta$ центра масс цилиндра $m$ относительно оси $OZ$ через $m$, $g$, $R$, $r$, $\theta$, $\frac{d^2}{dt^2} \varphi$ и момент инерции $I_{CM}$ цилиндра массы $m$ относительно его центральной оси.

1 M1 $L = L_{цм} + L_{отн\,цм}$	0.20
2 M1 $L_{цм} = - m r \left(R-r\right) \dot{\theta}$	0.20
3 M1 $L_{отн\,цм} = I_{CM} \dot{\psi}$	0.20
4 M1 $M = M_{mg}$ ($M_{N} = M_{F_{тр}} = 0$)	0.20
5 M1 $M_{mg} = m g r \sin \theta$	0.20
6 M1 $\frac{d}{dt} L = M$	0.20
7 M1 Ответ: $I_{CM} \ddot{\psi} - m r \left(R-r\right) \ddot{\theta} = m g r \sin \theta$	0.40
8 M2 Записан второй закон Ньютона для малого цилиндра	0.20
9 M2 Правильно получены нужные силы: $F_{тр} = m \left(R-r\right) \ddot{\theta} + m g \sin \theta$, $N = m \left(R - r\right) \dot{\theta}^2 + m g \cos \theta$ (если для выбранной оси $N$ не дает момента, для зачета пункта требуется лишь $F_{тр})$	0.40
10 M2 $L = L_{цм} + L_{отн\,цм}$	0.20
11 M2 $L_{отн\,цм} = I_{CM} \dot{\psi}$	0.20
12 M2 Получен правильный $L_{цм}$	0.20
13 M2 $\frac{d}{dt} L = M$	0.20
14 M2 Ответ: $I_{CM} \ddot{\psi} - m r \left(R-r\right) \ddot{\theta} = m g r \sin \theta$	0.40

A4  ^1.30 Чему равен период малых колебаний цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью? Выразите ответ через $R$, $r$, $g$.

1 $\ddot{\varphi} = 0$	0.10
2 $I_{CM} = \frac{1}{2} m r^2$	0.10
3 Использован результат A2 чтобы избавиться от $\ddot{\psi}$ в результате A3	0.20
4 $\ddot{\psi} = - \frac{R-r}{r} \ddot{\theta}$	0.20
5 Получен правильный диффур: $\ddot{\theta} + \frac{g r^2}{R-r} \frac{m}{I_{CM}+m r^2} \sin \theta = 0$	0.30
6 Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{3}{2} \frac{R-r}{g}}$	0.40
7 Ответ выражен через $I_{CM}$	-0.10
8 Получена частота $\omega$ вместо периода $T$	-0.10

A5  ^0.20 Чему равно значение угла $\theta$ для положения равновесия цилиндра $m$ из пункта A4?

1 Ответ: $\theta = 0$

0.20

A6  ^0.70 Где находится положение равновесия цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянным угловым ускорением $\alpha$? Выразите ответ через $R$, $g$, $\alpha$.

1 $\ddot{\psi} = \frac{R}{r} \alpha - \frac{R-r}{r} \ddot{\theta}$	0.10
2 Получено уравнение на $\theta$: $I_{CM} \alpha \frac{R}{r} - m g r \sin \theta = 0$	0.40
3 Ответ: $\theta = \arcsin \frac{\alpha R}{2 g}$	0.20
4 Ответ выражен через $I_{CM}$ или получен $\sin \theta$ вместо $\theta$	-0.10

A7  ^2.50 Пусть теперь цилиндр $M$ свободно вращается (колеблется) без ограничения вокруг центральной оси $OZ$, а цилиндр $m$ совершает малые колебания, качаясь по внутренней поверхности цилиндра $M$. Найдите период этих малых колебаний.

1 M1 Уравнение моментов для всей системы: $M R^2 \ddot{\varphi} + m \left(R-r\right)^2 \ddot{\theta} + \frac{m r^2}{2} \ddot{\psi} = - m g \left(R-r\right) \sin \theta$	1.00
2 M2 Сила трения выражена через II-й закон для малого цилиндра и уравнение моментов для большого: $F_{тр} = - M R \ddot{\varphi} = m \left(R-r\right) \ddot{\theta} + m g \sin \theta$	1.00
3 M3 Закон сохранения энергии: $\frac{M R^2}{2} \dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} \frac{m r^2}{2} \dot{\psi}^2 + \frac{1}{2} m \left(R-r\right)^2 \dot{\theta}^2 + m g \left(R-r\right) \left(1-\cos \theta\right) = \text{const}$	1.00
4 Решена система из трех уравнений на $\ddot{\psi}$, $\ddot{\varphi}$ и $\ddot{\theta}$ и получено $\ddot{\theta} = -\frac{g}{R-r} \frac{2 M + m}{3 M + m} \sin \theta$	1.00
5 Ответ: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R-r}{g} \frac{3 M + m}{2 M + m}}$	0.50
6 Получена частота $\omega$ вместо периода $T$	-0.10

A8  ^2.50 Рассмотрите случай когда цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью $\Omega$, а цилиндр $m$ вращается (катается) вокруг стационарного центра масс в точке равновесия, найденного в пункте A5. Затем цилиндр $M$ мгновенно останавливают. Какое наименьшее значение должна иметь $\Omega$, чтобы цилиндр $m$ покатился и достиг высшей точки внутренней поверхности цилиндра $M$? Коэффициент трения между $m$ и $M$ предполагается достаточно большим, так что $m$ начинает катиться без проскальзывания сразу же после короткой пробуксовки после остановки цилиндра $M$.

1 До остановки $v = 0$	0.20
2 До остановки $\dot{\psi} = \frac{R}{r} \Omega$	0.30
3 В течение пробуксовки сохраняется момент относительно оси, проходящей через точку касания: $m v_{цм} + \frac{m r^2}{2} \dot{\psi} = \text{const}$	0.50
4 Сразу после пробуксовки скорость цм цилиндра $v_0 = \frac{R}{3} \Omega$	0.30
5 ЗСЭ: $\frac{3}{4} m v_0^2 = \frac{3}{4} m v_{\text{up}}^2 + 2 m g \left(R-r\right)$, где $v_{\text{up}}$ – скорость цм цилиндра в верхней точке	0.40
6 $v_{\text{up}}^2 \geq g \left(R-r\right)$	0.30
7 Ответ: $\Omega_{\min} = \sqrt{ \frac{33 g \left(R-r\right)}{R^2}}$	0.50