A1  ^2.50 Найдите полную гидродинамическую силу $\langle F\rangle$, действующую на бумеранг, усредненную по времени за один оборот. Выразите ответ через $v$, $\omega$, $R$, $a$ и $\gamma$.

1 Записано выражение для компоненты скорости $v_\perp$, перпендикулярной краю лопасти: $$v_\perp=\omega x-v\sin\varphi{.} $$	1.00
2 Записано выражение для силы, действующей на малый элемент: $$dF(x)=\gamma a\left(\omega^2x^2+v^2\sin^2\varphi-2\omega xv\sin\varphi\right)dx{.} $$	0.30
3 Правильное усреднение по углу: $$dF(x)=\gamma a\left(\omega^2x^2+\cfrac{v^2}{2}\right)dx{.} $$	0.50
4 Правильный интеграл по координате для одной лопасти: $$F_1(x)=\gamma aR\left(\cfrac{\omega^2R^2}{3}+\cfrac{v^2}{2}\right){.} $$	0.50
5 Учтена четвёрка и получен правильный ответ: $$F(x)=4\gamma aR\left(\cfrac{\omega^2R^2}{3}+\cfrac{v^2}{2}\right){.} $$	0.20

A2  ^2.50 Найдите суммарный момент гидродинамических сил $\langle\vec{\tau}\rangle$, действующих на бумеранг, относительно его центра. Момент нужно усреднить по времени за один оборот. Выразите ответ через $v$, $\omega$, $R$, $a$ и $\gamma$. Укажите, как направлен усреднённый момент относительно направления вектора скорости его центра.

1 Записано выражение для компонента момента силы в проекции на ось $y$: $$d\tau_y=dF\cdot{x\cos\varphi}{.} $$	0.30
2 Правильное усреднение момента относительно вертикальной оси: $$\tau_y=0{.} $$	0.50
3 Записано выражение для компонента момента силы в проекции на ось $x$: $$d\tau_x=-dF\cdot{x\sin\varphi}{.} $$	0.50
4 Правильное усреднение по углу для малого элемента: $$d\tau_x=\gamma a\omega vx^2dx{.} $$	0.50
5 Правильный интеграл по координате для одной лопасти: $$\tau_x=\cfrac{\gamma aR^3\omega v}{3}{.} $$	0.50
6 Учтена четвёрка и получен правильный ответ: $$\vec{\tau}=\cfrac{4\gamma aR^3\omega\vec{v}}{3}{.} $$(Средний по углу вектор момента сил направлен горизонтально вдоль скорости центра бумеранга).	0.20

A3  ^3.00 Чему должно быть равно отношение $v/(\omega R)$ в момент броска бумеранга, чтобы в течение последующего движения центр бумеранга двигался по горизонтальной круговой траектории?
Считайте, что период вращения бумеранга $2\pi/\omega$ много меньше периода кругового движения центра масс. Это позволяет использовать найденные ранее усреднённые по периоду величины $\langle F\rangle$ и $\langle\vec{\tau}\rangle$.

1 Определён момент инерции бумеранга относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости: $$I=\cfrac{mR^2}{3}{.} $$	0.10
2 Из теоремы о движении центра масс для бумеранга получено: $$F=mv\Omega_F{,} $$где $\Omega_F$ – угловая скорость вращения силы $F$.	0.80
3 Из уравнения динамики вращательного движения относительно центра бумеранга получено: $$\tau=I\omega\Omega_\tau{,} $$где $\Omega_\tau$ – угловая скорость вращения усреднённого по периоду момента сил, действующих на бумеранг, относительно его центра.	1.50
4 Использовано равенство угловые скоростей вращения силы и момента сил: $$\Omega_F=\Omega_\tau{.} $$	0.40
5 Получен правильный ответ: $$\cfrac{v}{\omega R}=\sqrt{\cfrac{2}{3}}{.} $$Пункт оценивается при наличии правильных ответов в пунктах $\mathrm{A1}$ и $\mathrm{A2}$:	0.20

A4  ^1.50 Выразите радиус $r$ траектории центра масс бумеранга через $\gamma$ и параметры бумеранга.

1 Если в пункте $\mathrm{A1}$ получено выражение для $F$ и использован результат, полученный в пункте $\mathrm{A3}$, то оценивается следующая формула: $$F=\cfrac{mv^2}{r}{.} $$Пункт оценивается, даже если величины $\langle F\rangle$ и $v/(\omega R)$ определены неверно.	0.70
2 Получен правильный ответ: $$r=\cfrac{m}{4\gamma aR}{.} $$	0.80

A5  ^0.50 Предположим, что мы сделали два похожих бумеранга из одинакового материала, таких, что каждый размер одного из них в два раза меньше соответствующего размера второго. Чему равно отношение радиусов $r_2/r_1$ их круговых траекторий?

1 Правильное соотношение сил: $$\cfrac{F_2}{F_1}=4{.} $$	0.20
2 Правильное соотношение масс: $$\cfrac{m_2}{m_1}=\cfrac{1}{8}{.} $$	0.20
3 Получен правильный ответ: $$\cfrac{r_2}{r_1}=\cfrac{1}{2}{.} $$	0.10