Logo
Logo

Почему бумеранг возвращается?

Разбалловка

A1  2,50 Найдите полную гидродинамическую силу $\langle F\rangle$, действующую на бумеранг, усредненную по времени за один оборот. Выразите ответ через $v$, $\omega$, $R$, $a$ и $\gamma$.

A1. 1 Записано выражение для компоненты скорости $v_\perp$, перпендикулярной краю лопасти:
$$v_\perp=\omega x-v\sin\varphi{.}
$$
1,00
A1. 2 Записано выражение для силы, действующей на малый элемент:
$$dF(x)=\gamma a\left(\omega^2x^2+v^2\sin^2\varphi-2\omega xv\sin\varphi\right)dx{.}
$$
0,30
A1. 3 Правильное усреднение по углу:
$$dF(x)=\gamma a\left(\omega^2x^2+\cfrac{v^2}{2}\right)dx{.}
$$
0,50
A1. 4 Правильный интеграл по координате для одной лопасти:
$$F_1(x)=\gamma aR\left(\cfrac{\omega^2R^2}{3}+\cfrac{v^2}{2}\right){.}
$$
0,50
A1. 5 Учтена четвёрка и получен правильный ответ:
$$F(x)=4\gamma aR\left(\cfrac{\omega^2R^2}{3}+\cfrac{v^2}{2}\right){.}
$$
0,20
A2  2,50 Найдите суммарный момент гидродинамических сил $\langle\vec{\tau}\rangle$, действующих на бумеранг, относительно его центра. Момент нужно усреднить по времени за один оборот. Выразите ответ через $v$, $\omega$, $R$, $a$ и $\gamma$. Укажите, как направлен усреднённый момент относительно направления вектора скорости его центра.

A2. 1 Записано выражение для компонента момента силы в проекции на ось $y$:
$$d\tau_y=dF\cdot{x\cos\varphi}{.}
$$
0,30
A2. 2 Правильное усреднение момента относительно вертикальной оси:
$$\tau_y=0{.}
$$
0,50
A2. 3 Записано выражение для компонента момента силы в проекции на ось $x$:
$$d\tau_x=-dF\cdot{x\sin\varphi}{.}
$$
0,50
A2. 4 Правильное усреднение по углу для малого элемента:
$$d\tau_x=\gamma a\omega vx^2dx{.}
$$
0,50
A2. 5 Правильный интеграл по координате для одной лопасти:
$$\tau_x=\cfrac{\gamma aR^3\omega v}{3}{.}
$$
0,50
A2. 6 Учтена четвёрка и получен правильный ответ:
$$\vec{\tau}=\cfrac{4\gamma aR^3\omega\vec{v}}{3}{.}
$$
(Средний по углу вектор момента сил направлен горизонтально вдоль скорости центра бумеранга).
0,20
A3  3,00 Чему должно быть равно отношение $v/(\omega R)$ в момент броска бумеранга, чтобы в течение последующего движения центр бумеранга двигался по горизонтальной круговой траектории?
Считайте, что период вращения бумеранга $2\pi/\omega$ много меньше периода кругового движения центра масс. Это позволяет использовать найденные ранее усреднённые по периоду величины $\langle F\rangle$ и $\langle\vec{\tau}\rangle$.

A3. 1 Определён момент инерции бумеранга относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости:
$$I=\cfrac{mR^2}{3}{.}
$$
0,10
A3. 2 Из теоремы о движении центра масс для бумеранга получено:
$$F=mv\Omega_F{,}
$$
где $\Omega_F$ — угловая скорость вращения силы $F$.
0,80
A3. 3 Из уравнения динамики вращательного движения относительно центра бумеранга получено:
$$\tau=I\omega\Omega_\tau{,}
$$
где $\Omega_\tau$ — угловая скорость вращения усреднённого по периоду момента сил, действующих на бумеранг, относительно его центра.
1,50
A3. 4 Использовано равенство угловые скоростей вращения силы и момента сил:
$$\Omega_F=\Omega_\tau{.}
$$
0,40
A3. 5 Получен правильный ответ:
$$\cfrac{v}{\omega R}=\sqrt{\cfrac{2}{3}}{.}
$$
Пункт оценивается при наличии правильных ответов в пунктах $\mathrm{A1}$ и $\mathrm{A2}$:
0,20
A4  1,50 Выразите радиус $r$ траектории центра масс бумеранга через $\gamma$ и параметры бумеранга.

A4. 1 Если в пункте $\mathrm{A1}$ получено выражение для $F$ и использован результат, полученный в пункте $\mathrm{A3}$, то оценивается следующая формула:
$$F=\cfrac{mv^2}{r}{.}
$$
Пункт оценивается, даже если величины $\langle F\rangle$ и $v/(\omega R)$ определены неверно.
0,70
A4. 2 Получен правильный ответ:
$$r=\cfrac{m}{4\gamma aR}{.}
$$
0,80
A5  0,50 Предположим, что мы сделали два похожих бумеранга из одинакового материала, таких, что каждый размер одного из них в два раза меньше соответствующего размера второго. Чему равно отношение радиусов $r_2/r_1$ их круговых траекторий?

A5. 1 Правильное соотношение сил:
$$\cfrac{F_2}{F_1}=4{.}
$$
0,20
A5. 2 Правильное соотношение масс:
$$\cfrac{m_2}{m_1}=\cfrac{1}{8}{.}
$$
0,20
A5. 3 Получен правильный ответ:
$$\cfrac{r_2}{r_1}=\cfrac{1}{2}{.}
$$
0,10