A1  ^2.50 Найдите полную гидродинамическую силу $\langle F\rangle$, действующую на бумеранг, усредненную по времени за один оборот. Выразите ответ через $v$, $\omega$, $R$, $a$ и $\gamma$.

Пусть лопасть повёрнута относительно вектора скорости $\vec{v}$ центра бумеранга на угол $\varphi$ в направлении против часовой стрелки, а $x$ – расстояние от центра бумеранга до точки $P$ лопасти. Тогда для перпендикулярной краю лопасти компоненты скорости точки $P$ имеем:
$$v_{\perp P}=\omega x-v\sin\varphi{.}
$$Для силы $dF_\text{л}$, действующей на элемент лопасти длиной $dx$, имеем:
$$dF_\text{л}=\gamma v^2_{\perp P}\Delta{A}=\gamma v^2_{\perp P}adx=\gamma (\omega x-v\sin\varphi)^2adx{.}
$$Проинтегрируем полученное выражение:
$$F_\text{л}=\gamma a\int\limits_{0}^R(\omega^2x^2-2\omega v\sin\varphi x+v^2\sin^2\varphi)dx=\gamma a\left(\cfrac{\omega^2R^3}{3}-\omega v\sin\varphi R^2+v^2\sin^2\varphi R\right){.}
$$Поскольку угловая скорость является постоянной – усреднение по времени эквивалентно усреднению по углу $\varphi$:
$$\langle F_\text{л}\rangle=\gamma a\left(\cfrac{\omega^2R^3}{3}-\omega vR^2\langle \sin\varphi\rangle+v^2R\langle \sin^2\varphi\rangle\right){.}
$$Проведём соответствующие усреднения:
$$\langle\sin\varphi\rangle=\cfrac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\sin\varphi d\varphi=0{.}
$$$$\langle \sin^2\varphi\rangle=\cfrac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\sin^2\varphi d\varphi=\cfrac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\cfrac{1-\cos 2\varphi}{2}d\varphi=\cfrac{1}{2}{.}
$$Таким образом:
$$\langle F_\text{л}\rangle=\gamma aR\left(\cfrac{\omega^2R^2}{3}+\cfrac{v^2}{2}\right){.}
$$Поскольку лопастей четыре и для каждой из них среднее значение силы одинаково:
$$\langle F\rangle=4\langle F_\text{л}\rangle{.}
$$Таким образом:

A2  ^2.50 Найдите суммарный момент гидродинамических сил $\langle\vec{\tau}\rangle$, действующих на бумеранг, относительно его центра. Момент нужно усреднить по времени за один оборот. Выразите ответ через $v$, $\omega$, $R$, $a$ и $\gamma$. Укажите, как направлен усреднённый момент относительно направления вектора скорости его центра.

Пусть $\vec{e}_r$ и $\vec{e}_\varphi$ – единичные векторы цилиндрической системы координат с началом в центре бумеранга. Тогда для элемента момента силы $d\vec{\tau}$ относительно центра бумеранга имеем:
$$d\vec{\tau}_\text{л}=\bigl[\vec{r}\times d\vec{F}_\text{л}\bigr]=\bigl[\vec{e}_z\times\vec{e}_r\bigr]xdF_\text{л}=\vec{e}_\varphi xdF_\text{л}=\vec{e}_\varphi\gamma(\omega x-v\sin\varphi)^2adx\cdot x{.}
$$Проинтегрируем полученное выражение:
$$\vec{\tau}_\text{л}=\vec{e}_\varphi\gamma a\int\limits_{0}^R(\omega^2x^2-2\omega v\sin\varphi x+v^2\sin^2\varphi)xdx=\vec{e}_\varphi\gamma aR^2\left(\cfrac{\omega^2R^2}{4}-\cfrac{2\omega Rv\sin\varphi}{3}+\cfrac{v^2\sin^2\varphi}{2}\right){.}
$$Теперь введём систему координат $xy$ таким образом, что ось $x$ направлена вдоль направления $\varphi=0$, а ось $y$ – вдоль направления $\varphi=\pi/2$. Тогда имеем:
$$\tau_{\text{л}x}=-\tau_\text{л}\sin\varphi\qquad\tau_{\text{л}y}=\tau_\text{л}\cos\varphi{.}
$$Проведём усреднения по времени.
$$\langle\tau_{\text{л}x}\rangle=-\cfrac{\gamma aR^2}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\left(\cfrac{\omega^2R^2}{4}-\cfrac{2\omega Rv\sin\varphi}{3}+\cfrac{v^2\sin^2\varphi}{2}\right)\sin\varphi d\varphi{.}
$$Интегралы от тригонометрических функций в нечётных степенях обращаются в ноль, поскольку эти функции являются нечётными, интеграл от $\sin^2\varphi$ за период был вычислен в предыдущем пункте и равен $\pi$.
Таким образом:
$$\langle\tau_{\text{л}x}\rangle=\cfrac{\gamma a\omega vR^3}{3}{.}
$$$$\langle\tau_{\text{л}y}\rangle=\cfrac{\gamma aR^2}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\left(\cfrac{\omega^2R^2}{4}-\cfrac{2\omega Rv\sin\varphi}{3}+\cfrac{v^2\sin^2\varphi}{2}\right)\cos\varphi d\varphi{.}
$$Поскольку $\cos\varphi d\varphi=d\sin\varphi=dt$, данное выражение можно переписать следующим образом:
$$\langle\tau_{\text{л}y}\rangle=\cfrac{\gamma aR^2}{2\pi}\int\limits_{0}^{0}\left(\cfrac{\omega^2R^2}{4}-\cfrac{2\omega Rvt}{3}+\cfrac{v^2\sin^2t^2}{2}\right)dt=0{.}
$$Обратим внимание, что вектор $\vec{e}_x$ направлен вдоль вектора скорости $\vec{v}$, поэтому:
$$\langle\vec{\tau}_\text{л}\rangle=\cfrac{\gamma a\omega R^3\vec{v}}{3}{.}
$$Средний момент сил, действующий на одну лопасть, одинаков для каждой из них, и, поскольку их $4$:
$$\langle\vec{\tau}\rangle=4\langle\vec{\tau}_\text{л}\rangle{.}
$$Таким образом:

A3  ^3.00 Чему должно быть равно отношение $v/(\omega R)$ в момент броска бумеранга, чтобы в течение последующего движения центр бумеранга двигался по горизонтальной круговой траектории?
Считайте, что период вращения бумеранга $2\pi/\omega$ много меньше периода кругового движения центра масс. Это позволяет использовать найденные ранее усреднённые по периоду величины $\langle F\rangle$ и $\langle\vec{\tau}\rangle$.

Сила $\vec{F}$, действующая на бумеранг, направлена перпендикулярно его плоскости, поэтому при движении по круговой траектории модуль скорости бумеранга остаётся постоянным. Значит, постоянной остаётся и угловая скорость $\vec{\Omega}$ перемещения центра бумеранга по круговой траектории.
Важно отметить, что поскольку сила всегда направлена перпендикулярна плоскости бумеранга, его плоскость также должна вращаться с постоянной угловой скоростью $\vec{\Omega}$. Определим модуль угловой скорости $\Omega$:
$$M\langle\dot{\vec{v}}\rangle=\langle\vec{F}\rangle\Rightarrow M\Omega v=\langle F\rangle=\gamma aR\left(2v^2+\cfrac{4\omega^2R^2}{3}\right)\Rightarrow \Omega=\cfrac{\gamma aR}{Mv}\left(2v^2+\cfrac{4\omega^2R^2}{3}\right){.}
$$
Поскольку средний момент сил $\langle\vec{\tau}\rangle$ направлен вдоль скорости центра бумеранга, а угловая скорость вращения плоскости бумеранга должна оставаться постоянной и равной $\vec{\Omega}$ – момент сил $\vec{\tau}$ перпендикулярен моменту импульса $\vec{L}$ бумеранга относительно его центра, который вращается под действием данного момента сил с той же угловой скоростью $\vec{\Omega}$.
Таким образом, закон изменения момента импульса относительно центра бумеранга выглядит следующим образом:
$$\langle\vec{\tau}\rangle=\langle\dot{\vec{L}}\rangle=\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{L}\bigr]=\Omega L_z\vec{e}_v=I_z\omega\Omega\vec{e}_v{,}
$$или же:
$$\Omega=\cfrac{\langle\tau\rangle}{I_z\omega}{.}
$$Момент инерции бумеранга относительно оси $z$ равен $I_z=MR^2/3$, поскольку бумеранг образован четырьмя стержнями длиной $R$ с общей точкой в центре бумеранга, откуда:
$$\Omega=\cfrac{4\gamma avR}{M}{.}
$$Приравнивая выражения для $\Omega$, получим:
$$4v^2=2v^2+\cfrac{4\omega^2R^2}{3}{,}
$$откуда:

A4  ^1.50 Выразите радиус $r$ траектории центра масс бумеранга через $\gamma$ и параметры бумеранга.

Для радиуса круговой траектории $r$ имеем:
$$r=\cfrac{v}{\Omega}{,}
$$Используя выражение для $\Omega$, полученное из уравнения динамики вращательного движения, находим:

A5  ^0.50 Предположим, что мы сделали два похожих бумеранга из одинакового материала, таких, что каждый размер одного из них в два раза меньше соответствующего размера второго. Чему равно отношение радиусов $r_2/r_1$ их круговых траекторий?

Для отношения радиусов $r_2/r_1$ имеем:
$$\cfrac{r_2}{r_1}=\cfrac{M_2}{M_1}\cfrac{a_1R_1}{a_2R_2}{.}
$$Поскольку $M\sim R^3$ и $a\sim R$, имеем:
$$\cfrac{r_2}{r_1}=\cfrac{R_2}{R_1}{,}
$$или же