1  ^?? Какую минимальную работу $A$ нужно совершить крану, чтобы полностью вытащить бревно из воды?

Минимальная работа крана равна изменению потенциальной энергии бревна:
$$
A = \frac{m g L}{2}.
$$

2  ^?? Постройте график зависимости силы натяжения $T$ троса от высоты над водой $h$ приподнимаемого конца бревна. Укажите характерные точки графика.

Бревно в процессе подъема будет образовывать некий угол $\alpha$ с поверхностью воды, пока не примет вертикальное положение, оставаясь частично погруженным в воду. Оно находится в равновесии, если выполняются два условия (см. рисунок ниже):

$а)$ Сумма всех действующих на него сил равна нулю:
$$
T_{0} + F_{A} - mg=0,
$$
где $F_{A}=mg \gamma x_{0}/L$ — Архимедова сила, $x_{0}$ — длина части бревна, погруженной в воду.
$б)$ Согласно правилу моментов, сумма моментов сил относительно произвольного полюса равна нулю. В качестве полюса выберем верхний конец бревна, точку $O$. Тогда правило моментов запишется так:
$$
mg \frac{L}{2} \cos \alpha - \left(mg \gamma \frac{x_{0}}{L}\right) \left(L-\frac{x_{0}}{2}\right) \cos \alpha =0.
$$
Откуда следует, что сила $T_{0}$ натяжения троса не зависит от угла наклона бревна относительно горизонта. Решая последнее уравнение, получим, что в воде будет находиться часть бревна длиной
$$
x_{0}=L \left(1-\sqrt{1-\frac{1}{\gamma}}\right)=\frac{L}{2}.
$$
Пока бревно будет оставаться в наклонном положении, сила натяжения троса останется постоянной и равной $T_{0}=mg/3$.
После того, как бревно примет вертикальное положение, сила натяжения троса станет возрастать линейно от $T_{0}$до $mg$:
$$
T=mg-F_{A} = mg \left(1-\frac{\gamma x}{L} \right).
$$
График зависимости силы натяжения троса $T$ от высоты $h$ приведён на рисунке ниже.

3  ^?? Какую работу $A_{h}$ совершит кран при переводе бревна из одного наклонного положения в другое наклонное положение, в котором верхний конец бревна поднялся на высоту $\Delta h = L/5$?

Подъём верхнего конца бревна на высоту $h$ происходит при постоянной силе натяжения $T=T_{0}=mg/3$. Искомая работа:
$$
A_{h} =T \Delta h = \frac{mg}{3} \cdot \frac{L}{5}=\frac{mgL}{15}.
$$