A1  ^0.50 Для эллипса можно определить параметр эксцентриситет $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$, где $a$ и $b$ – большая и малая полуоси эллипса соответственно. Найдите эксцентриситет $e$ орбиты кометы Чурюмова-Герасименко.

При прохождении перигелия и афелия орбиты лучевая скорость кометы $v_r=0$. Из графика: $q=1.24~\text{а.е.}$, $Q=5.68~\text{а.е.}$, откуда $\frac{1+e}{1-e}=\frac{Q}{q}=4.58$. Итого $e=\frac{Q-q}{Q+q}=0.64$.

A2  ^1.00 Полная энергия тела, которое движется по эллиптической орбите, не зависит от ее эксцентриситета, а зависит только от длины большой полуоси $a$. Найдите скорость $v$ кометы в зависимости от расстояния $r$. Ответ выразите через $a$, $r$ и физические постоянные.

Удобно рассмотреть круговую орбиту радиусом $a$. Тело движется по ней с "первой космической" скоростью $v=\sqrt{\frac{GM}{a}}$, которую можно найти из II закона Ньютона $\frac{GM}{a^2} = \frac{v^2}{a}$. Тогда полная энергия
\[E= \frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{a}=-\frac{GMm}{2a},\]откуда нетрудно выразить $v= \sqrt{GM \left( \frac{2}{r}-\frac{1}{a} \right) }$.

A3  ^1.00 Найдите лучевую скорость $v_r$ в зависимости от расстояния $r$. Ответ выразите через $a$, $r$, $e$ и физические постоянные.

По теореме Пифагора $v_r^2=v^2-v_\tau^2$, где $v_\tau$ - тангенциальная скорость кометы. Bсходя из ЗСМИ $L=mv_\tau r$, поэтому $v_r^2=v^2 - \frac{L^2}{m^2r^2}$.
Найдем $L$ с помощью равенства $v=v_\tau$ в перигелии и афелии:
\[ v^2=GM \left( \frac{2}{a(1-e)} -\frac{1}{a}\right)=\frac{L^2}{m^2 a^2(1-e)^2}.\]В итоге получим $v_\tau^2 = \frac{L^2}{m^2 r^2} = GM \frac{a(1-e^2)}{r^2}$ и $v_{r}=\sqrt{G M\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}-\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r^{2}}\right)}$.

A4  ^0.50 Используя график, найдите значение длины большой полуоси $a$ орбиты кометы.

В точке $r_0 = a(1-e^2)$ выполняется $\frac{dv_r}{dr}=0$. В тоже время касательная к графику горизонтальна при $r_0=2.04~\text{а.е.}$, откуда $a=3.46~\text{а.е.}$.

B1  ^0.40 Когда комета пройдет перигелий в следующий раз?

По третьему закону Кеплера период обращения кометы вокруг Солнца составляет
$T=\left( \frac{a}{\text{а.е.}} \right)^{3/2} ~\text{лет}=2350~\text{сут}$.
\[\text{13 августа 2015 года} + T = \text{середина января 2022 года}\]

B2  ^2.50 Оцените, когда можно ожидать ближайшее тесное сближение кометы с Землей (расстояние при тесном сближении не превышает минимально возможное более, чем на $15\text{%}$). Плоскости орбит Земли и кометы совпадают, как и направления угловых скоростей. Орбиту Земли считать круговой.

Положение Земли относительно перицентра орбиты кометы однозначно определяется (см. рис.) полярным углом $\lambda (t)$.

Найдём величину $\lambda_c$ этого угла на 10 февраля 2015 года. В треугольнике C (комета) — S (Солнце) — F (второй фокус орбиты эллипса) известны все три стороны:
\[
\begin{split}
|SC|&=d_0-1 \text{а.е.}=2.70 \text{а.е.},\\
|SF|&=2ae=4.43 \text{а.е.}, \\
|FC|&=2a-|SC|=4.22  \text{а.е.}
\end{split}
\]
По теореме косинусов вычислим $\lambda_c=68^\circ$. Тогда на момент прохождения кометой перигелия в 2015 году:
\[\lambda_{p,0} \simeq λ_0+\frac{\text{13 августа}-\text{10 февраля}}{365}\cdot 360^\circ = 68^\circ+180^\circ=-112^\circ.\]Поскольку период обращения кометы вокруг Солнца составляет $6.44$ земных лет, $λ_{p,i}$ отстоят друг от друга на угол $\Delta \lambda=0.44 \cdot 360^\circ=180^\circ-21.5^\circ$.

Уже через три периода (см. таблицу) наступит момент, когда в момент прохождения перигелия Земля окажется между Солнцем и кометой, почти на одной прямой:
\[\text{13 августа 2015 года} + 3T = \text{ноябрь – декабрь 2034 года}.\]

$i$	$\lambda_{p,i}$
0	$–112^\circ$
1	$46.5^\circ$
2	$–155^\circ$
3	$3.5^\circ$

C1  ^0.10 Запишите текущее перигелийное расстояние $q$ кометы.

C2  ^2.00 Найдите изменение $\Delta{(v^2)}$ квадрата модуля скорости кометы при взаимодействии с Юпитером. Ответ выразите через $q$, $q_l$, $v_{r_{max}}$, $e$. Получите также численное значение $\Delta{(v^2)}$.

Орбитальная скорость тела зависит только от его гелиоцентрического расстояния r и большой полуоси орбиты a (пункт A2). При тесном сближении с Юпитером $r=R$.
Поскольку эксцентриситет орбиты остался прежним, старая и новая орбита подобны: $\frac{a_l}{a}=\frac{q_l}{q}$, откуда $a_l=7.53~\text{а.е.}$.

Выражение для искомой величины записать нетрудно:
\[ \Delta v^2=GM \left( \frac{2}{R}-\frac{1}{a}-\frac{2}{R}+\frac{1}{a_l} \right)=GM \frac{a-a_l}{a \cdot a_l}.\]Осталось найти значение постоянной Кеплера $GM$. Вновь обратимся к данным графика: $v_{r,\text{max}} =13.4~\text{км}/\text{с}$ достигается (пункт A4) при $r=a(1-e^2 )$. При этом выражение для $v_r^2$ принимает вид
\[v_{r,\text{max}}^2=GM \left(\frac{2}{a(1-e^2)}-\frac{1}{a}-\frac{a(1-e^2)}{(a^2 (1-e^2 )^2} \right)=GM \frac{e^2}{a(1-e^2)}\]В итоге имеем
\[\Delta v^2=\frac{1-e^2}{e^2} \cdot \frac{a-a_l}{a_l} \cdot v_{r,\text{max}}^2=-140 \left( \text{км}/\text{с}\right)^2.\]

C3  ^1.00 Найдите угол $\Delta{ψ}$, на который повернулся вектор скорости кометы в результате описанного взаимодействия, если известно, что он не превышает $30^{\circ}$. Считайте, что Юпитер движется по круговой орбите радиуса $R=5{,}20~\text{а.е}$.

Рассчитаем (с точностью до знака) скорости $v_r (R)$ и $v_\tau (R)$ при движении по старой и новой орбитам (пункт A3); для упрощения вычислений положим $GM = 1~\text{а.е.}$.
По этим данным рассчитаем угол, который скорость кометы образовывала с лучом зрения:
\[ |\psi|=\arctan \frac{v_\tau}{v_r}\]

$r=R=5.20~\text{а.е}$
$a,~\text{а.е.}$	$e$	$v_r,~\text{у.е.}$	$v_\tau,~\text{у.е.}$	|\psi|
$7.53$	$0.64$	$0.296$	$0.405$	$54^\circ$
$3.46$		$0.142$	$0.275$	$63^\circ$