Pho.rs: Гравитационные гонки

Гравитационные гонки

Разбалловка

X19

0.0

Сумма баллов

A1 ^2.00

Найдите время движения одного из тел

из точки $O_2$ до точки $O$;
из точки $O_3$ до точки $P_2$.

1 Идея решения пункта 1)	0.30
2 Ответ для пункта 1) : $\cfrac{T}{3}$	0.20
3 Идея разбиения движения на части	0.60
4 $P$ - середина дуги	0.60
5 Ответ для пункта 2): $\cfrac{T}{12}\quad\text{или}\quad\cfrac{5T}{12}$	0.30

A2 ^1.00 Пусть $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_3$ - скорости этих трёх тел в некоторый момент времени. Запишите выражение, связывающее эти скорости между собой.

1 Ответ: $\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}=0$

1.00

A3 ^2.00 Докажите, что суммарный момент импульса этой системы равен нулю.

1 Разумный выбор полюса для записи момента импульса	0.50
2 Закон сохранения момента импульса	0.30
3 Равенство скоростей	0.20
4 Вычисления и результат	1.00

A4 ^2.00 Постройте положения точек $O_2$ и $O_3$ на листе ответов. В листе решений докажите справедливость построения.

1 Точки $O$, $O_2$ и $O_3$ на одной прямой	0.40
2 Равенство скоростей $v_2$ и $v_3$	0.30
3 Коллинеарность всех скоростей	0.60
4 Идея построения касательной	0.50
5 Построение	0.20

A5 ^2.00 Постройте положения точек $P_2$ и $P_3$ на листе ответов. Предложите два независимых метода построения. В листе решений докажите справедливость построений.

1 Идея использования момента импульса	0.90
2 Идея использования центра масс	0.60
3 Идея симметрии	0.30
4 Построение	0.20

A6 ^2.00 Найдите отношение скоростей тел в точках $O$ и $P$.

1 Энергия в точке $O$: $$E=\cfrac{3mv^2_0}{4}-\cfrac{5Gm^2}{2} $$	0.30
2 Соотношение между скоростями в точке $P$	0.10
3 Энергия в точке $P$: $$E=\cfrac{mv^2_P}{2}\left(1+\cfrac{1}{2\sin^2\alpha}\right)-\cfrac{Gm^2}{d}\left(2+\cfrac{1}{2\sin^2\alpha}\right)=E=6.68mv^2_p-4.49\cfrac{Gm^2}{d} $$	0.40
4 Сила в точке $P$: $$F=\cfrac{2Gm^2}{d^2}\cos\alpha=1.96\cfrac{Gm^2}{d^2} $$	0.20
5 Радиус кривизны в точке $P$	0.10
6 Связь $Gm$ и скоростей: $$Gm=0.51v^2_p\cfrac{d^2}{R_p} $$	0.20
7 Закон сохранения энергии	0.20
8 Ответ $2.8$	0.50