Logo
Logo

Гравитационные гонки

Разбалловка

A1  2.00

Найдите время движения одного из тел

  1. из точки $O_2$ до точки $O$;
  2. из точки $O_3$ до точки $P_2$.

1 Идея решения пункта 1) 0.30
2 Ответ для пункта 1) : $\cfrac{T}{3}$ 0.20
3 Идея разбиения движения на части 0.60
4 $P$ - середина дуги 0.60
5 Ответ для пункта 2): $\cfrac{T}{12}\quad\text{или}\quad\cfrac{5T}{12}$ 0.30
A2  1.00 Пусть $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_3$ - скорости этих трёх тел в некоторый момент времени. Запишите выражение, связывающее эти скорости между собой.

1 Ответ: $\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}=0$ 1.00
A3  2.00 Докажите, что суммарный момент импульса этой системы равен нулю.

1 Разумный выбор полюса для записи момента импульса 0.50
2 Закон сохранения момента импульса 0.30
3 Равенство скоростей 0.20
4 Вычисления и результат 1.00
A4  2.00 Постройте положения точек $O_2$ и $O_3$ на листе ответов. В листе решений докажите справедливость построения.

1 Точки $O$, $O_2$ и $O_3$ на одной прямой 0.40
2 Равенство скоростей $v_2$ и $v_3$ 0.30
3 Коллинеарность всех скоростей 0.60
4 Идея построения касательной 0.50
5 Построение 0.20
A5  2.00 Постройте положения точек $P_2$ и $P_3$ на листе ответов. Предложите два независимых метода построения. В листе решений докажите справедливость построений.

1 Идея использования момента импульса 0.90
2 Идея использования центра масс 0.60
3 Идея симметрии 0.30
4 Построение 0.20
A6  2.00 Найдите отношение скоростей тел в точках $O$ и $P$.

1 Энергия в точке $O$: $$E=\cfrac{3mv^2_0}{4}-\cfrac{5Gm^2}{2} $$ 0.30
2 Соотношение между скоростями в точке $P$ 0.10
3 Энергия в точке $P$: $$E=\cfrac{mv^2_P}{2}\left(1+\cfrac{1}{2\sin^2\alpha}\right)-\cfrac{Gm^2}{d}\left(2+\cfrac{1}{2\sin^2\alpha}\right)=E=6.68mv^2_p-4.49\cfrac{Gm^2}{d} $$ 0.40
4 Сила в точке $P$: $$F=\cfrac{2Gm^2}{d^2}\cos\alpha=1.96\cfrac{Gm^2}{d^2} $$ 0.20
5 Радиус кривизны в точке $P$ 0.10
6 Связь $Gm$ и скоростей: $$Gm=0.51v^2_p\cfrac{d^2}{R_p} $$ 0.20
7 Закон сохранения энергии 0.20
8 Ответ $2.8$ 0.50