Logo
Logo

Гравитационные гонки

Разбалловка

A1  2,00

Найдите время движения одного из тел

  1. из точки $O_2$ до точки $O$;
  2. из точки $O_3$ до точки $P_2$.

A1. 1 Идея решения пункта 1) 0,30
A1. 2 Ответ для пункта 1) : $\cfrac{T}{3}$ 0,20
A1. 3 Идея разбиения движения на части 0,60
A1. 4 $P$ - середина дуги 0,60
A1. 5 Ответ для пункта 2): $\cfrac{T}{12}\quad\text{или}\quad\cfrac{5T}{12}$ 0,30
A2  1,00 Пусть $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_3$ - скорости этих трёх тел в некоторый момент времени. Запишите выражение, связывающее эти скорости между собой.

A2. 1 Ответ: $\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}=0$ 1,00
A3  2,00 Докажите, что суммарный момент импульса этой системы равен нулю.

A3. 1 Разумный выбор полюса для записи момента импульса 0,50
A3. 2 Закон сохранения момента импульса 0,30
A3. 3 Равенство скоростей 0,20
A3. 4 Вычисления и результат 1,00
A4  2,00 Постройте положения точек $O_2$ и $O_3$ на листе ответов. В листе решений докажите справедливость построения.

A4. 1 Точки $O$, $O_2$ и $O_3$ на одной прямой 0,40
A4. 2 Равенство скоростей $v_2$ и $v_3$ 0,30
A4. 3 Коллинеарность всех скоростей 0,60
A4. 4 Идея построения касательной 0,50
A4. 5 Построение 0,20
A5  2,00 Постройте положения точек $P_2$ и $P_3$ на листе ответов. Предложите два независимых метода построения. В листе решений докажите справедливость построений.

A5. 1 Идея использования момента импульса 0,90
A5. 2 Идея использования центра масс 0,60
A5. 3 Идея симметрии 0,30
A5. 4 Построение 0,20
A6  2,00 Найдите отношение скоростей тел в точках $O$ и $P$.

A6. 1 Энергия в точке $O$:
$$E=\cfrac{3mv^2_0}{4}-\cfrac{5Gm^2}{2}
$$
0,30
A6. 2 Соотношение между скоростями в точке $P$ 0,10
A6. 3 Энергия в точке $P$:
$$E=\cfrac{mv^2_P}{2}\left(1+\cfrac{1}{2\sin^2\alpha}\right)-\cfrac{Gm^2}{d}\left(2+\cfrac{1}{2\sin^2\alpha}\right)=E=6.68mv^2_p-4.49\cfrac{Gm^2}{d}
$$
0,40
A6. 4 Сила в точке $P$:
$$F=\cfrac{2Gm^2}{d^2}\cos\alpha=1.96\cfrac{Gm^2}{d^2}
$$
0,20
A6. 5 Радиус кривизны в точке $P$ 0,10
A6. 6 Связь $Gm$ и скоростей:
$$Gm=0.51v^2_p\cfrac{d^2}{R_p}
$$
0,20
A6. 7 Закон сохранения энергии 0,20
A6. 8 Ответ $2.8$ 0,50