A1  ^2.00

Найдите время движения одного из тел

1. из точки $O_2$ до точки $O$;
2. из точки $O_3$ до точки $P_2$.

Одно тело проходит точки в следующей последовательности:
\[ O_3 \to O_2 \to O \to O_3, \quad P_3 \to P_2 \to P \to P_3\]За время $T$ расстояние $L_{O_2 O}$ проходится тремя телами по одинаковому закону движения, т.е. $t_{O_2 \to O} = T/3$.

Время движения из точки $O$ до самой себя составляет $T/2$ в силу зеркальной симметрии траектории и всего движения. Обозначим точкам $O'_2$ и $O'_3$ положения 2-го и 3-го в это момент времени.

Тогда $t_{O \to O_3}=T/3$. При этом $t_{O \to O_2} = -T/3$, $t_{O_2 \to O_2'}=T/2$, поэтому $t_{O \to O_2'}=T/6$. В силу симметрии $t_{P\to O} = (t_{O \to O_3} + t_{O \to O'_2})/2 = T/4$.

В итоге $t_{O \to O_3} = T/3$, $t_{O\to P_2} = t_{O \to P} + t_{P \to P_2} = -T/4+2T/3$. Значит $t_{O_3 \to P_2} = T/3 - T/4 = T/12$.

A2  ^1.00 Пусть $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_3$ - скорости этих трёх тел в некоторый момент времени. Запишите выражение, связывающее эти скорости между собой.

Центр масс покоится, поэтому $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$

A3  ^2.00 Докажите, что суммарный момент импульса этой системы равен нулю.

Центр масс системы в силу симметрии относительно отражений не может быть нигде кроме центра, то есть
\[\vec{r}_1 + \vec{r}_2 + \vec{r}_3 = 0\]Тогда в момент времени, когда 1-тело находится в точке $O$, $\vec{r}_2 = - \vec{r}_3$ и
\[ \vec{L} = m \vec{r}_2 \times \vec{v}_2 + m \vec{r}_3 \times \vec{v}_3 = m\vec{r}_2 \times \left( \vec{v}_2 - \vec{v}_3 \right)\]Из-за симметрии траектории $\vec{v}_2 = \vec{v}_3 = -\vec{v}_2/2$., поэтому $\vec{L}=0$ когда 1-ое тело находится в точке $O$. Помимо этого система замкнутая, поэтому $\vec{L} = \text{const}$ и в любой момент времени $\vec{L}=0$.

A4  ^2.00 Постройте положения точек $O_2$ и $O_3$ на листе ответов. В листе решений докажите справедливость построения.

A5  ^2.00 Постройте положения точек $P_2$ и $P_3$ на листе ответов. Предложите два независимых метода построения. В листе решений докажите справедливость построений.

С другой стороны вертикальные составляющей скоростей $v_2$ и $v_3$ являются половинами от $v_1$ и дают нулевой вклад в момент импульса. Горизонтальные составляющей скоростей $v_2$ и $v_3$ направлены в разные стороны и дают одинаковый вклад в момент импульса. Момент импульса относительно точки $P$ обнулится, если касательные в точках $P_2$ и $P_3$ будут проходить через точку $P$.

A6  ^2.00 Найдите отношение скоростей тел в точках $O$ и $P$.

Из рисунка траектории определим:

• Радиус кривизны в точке $P$: $R_p=41.7$;
• Расстояние $OO_3$: $r_0 = 145.2$
• Расстояние $PP_2$: $d=242$
• Угол между $PO$ и $PP_2$: $\alpha=11.6^\circ$

Когда 1-ое тело находится в точке $O$ полная энергия системы:

\[E = \frac{mv_{1,o}^2}{2}+ \frac{mv_{2,o}^2}{2}+ \frac{mv_{3,o}^2}{2}-\frac{Gm^2}{r_{12,o}}-\frac{Gm^2}{r_{23,o}}-\frac{Gm^2}{r_{13,o}}\]

При этом $v_{1,o}=2v_{2,o}=2v_{3,o} = v_o$ и $r_{12,o} = r_{13,o}=\frac{1}{2}r_{12,o}=r_o$. То есть

\[ E = \frac{3mv_o^2}{4} - \frac{5Gm^2}{2r_o}\]

Когда 1-ое находится в точке $P$ полная энергия системы находится аналогичным образом. При этом $r_{12,p}=r_{13,p}=d$, $r_{23,p}=2d \sin \alpha$. При этом $y$-проекция уравнения $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3=0$ позволяет написать $v_p = v_{1,p} = 2 v_{2,p} \sin \alpha = 2 v_{3,p} \sin \alpha$. Подстановка дает

\[E = \frac{mv_p^2}{2} \left( 1+ \frac{1}{2 \sin ^2 \alpha} \right) - \frac{Gm^2}{d} \left(2 + \frac{1}{2 \sin \alpha} \right) = 6.68 mv_p^2 - 4.49 \frac{Gm^2}{d}\]

Когда 1-ое тело находится в точке $P$ для него можно записать II закон Ньютона:

\[ \frac{mv_p^2}{R_p} = 2\frac{Gm^2}{d^2} \cos \alpha\]

Полученную систему уравнений можно решить и получить результат

\[\frac{v_o}{v_p} = \sqrt{\frac{4}{3} \left( 6.68 + 0.510 \frac{d^2}{R_p} \left[ \frac{5}{2r_o} - \frac{4.49}{d} \right] \right)} = 2.8\]