Если машины не~встречаются до~полной остановки, то~безопасное расстояние между ними складывается из~разности тормозных путей до~полной остановки и~длины участка, на~котором задний автомобиль движется с~постоянной скоростью. Такой сценарий однозначно реализуется, если сзади едет машина, тормозящая с~меньшим ускорением $a_1$ (см.~график зависимости мгновенной скорости~$u$ машин от~времени~$t$~(см. рисунок ниже)).
Безопасная дистанция, при~этом принимает большее значение $(L_2)$.
$$
\begin{gather*}
L_2=v\tau+\frac{v^2}{2a_2}-\frac{v^2}{2a_1}
\quad или \quad
L_2=v\tau+\frac{v^2}{2}\frac{a_2-a_1}{a_1a_2}.
\end{gather*}
$$
Возможна ситуация, при~которой задняя машина, начинающая торможение позже, но~движущаяся затем с~большим ускорением, догоняет переднюю, когда та еще не~остановилась~(см. рисунок ниже).
Для реализации этого случая, необходимо выполнение условия:
$$
\begin{equation}
\tau+\frac{v}{a_2}<\frac{v}{a_1}, \text{ или } v>\frac{a_1a_2}{a_2-a_1}\tau \tag 1
\end{equation}
$$
Тогда безопасная дистанция рассчитывается по формуле $L_1=\frac{1}{2}\tau(v-v_1)$, и с~учетом соотношений: $v-v_1=a_1t$ и $v-v_1=a_2(t-\tau)$
$$
\begin{gather*}
L_1=\frac{1}{2}\tau^2\frac{a_1a_2}{a_2-a_1},
\quad откуда \quad
L_2=v\tau+\frac{v^2}{4}\frac{\tau^2}{L_1}.
\end{gather*}
$$
Решая квадратное уравнение $v^2\tau^2+4L_1v\tau-4L_1L_2=0$ относительно $v$, получим:
$$
\begin{equation}
v=\frac{2L_1}{\tau}\left(\sqrt{1+\frac{L_2}{L_1}}-1\right)=20~м/с. \tag 2
\end{equation}
$$
В предположении встречи после остановки первой машины получается ответ: $v=\frac{L_1+L_2}{2\tau}=22/5~м/с$, что принципиально неверно для~заданных в~условии расстояний.
Отметим, что так как $\frac{a_1a_2}{a_2-a_1}=\frac{2L_1}{\tau^2}$, условие~$(1)$ может быть записано так~$v >2L_1/\tau$. Сравнение этого неравенства с~формулой~$(2)$ дает простое выражение для~условия реализации встречи машин до~остановки $(L_2/L_1>3)$. На рисунке ниже представлена графическая интерпретация этого неравенства.
