1  ^?? Меньший цилиндр отпускают, и он начинает катиться по внутренней поверхности большего без проскальзывания. Определите ускорение тела сразу после начала движения.

Если проскальзывания нет, то длина дуги $AB$ равна длине дуги $BD$ (и $OE$). Так как радиусы цилиндров различаются в два раза, то $\angle OCE = 2 \cdot \angle AOB$.

Треугольник $OCE$ – равнобедренный, значит $\angle COE = 90^\circ - \cfrac{1}{2} \angle OCE = 90^\circ - \angle AOB$, а значит $\angle AOE = 90^\circ$.

Таким образом тело всегда находится на перпендикуляре к $OA$, то есть движется по прямой, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом.

Запишем закон сохранения энергии для тела, которое движется по прямой линии. Пусть оно сместилось на расстояние $l$ вдоль прямой $OE$. Тогда изменение высоты равно $\Delta h= -l \sin \alpha $.

В итоге получаем: $0 = - mg l \sin \alpha + \cfrac{m v^2}{2}$, а ускорение постоянно и равно:
$$a = g \sin \alpha. $$

2  ^?? Определите ускорение и скорость тела в момент времени, когда плоскость $OC$ вертикальна. Считайте, что до этого момента движение шло без проскальзывания.

Найдём изменение высоты тела, когда плоскость $OC$ вертикальна (см. рисунок ниже). $\Delta h = -R(1 - \cos(2 \alpha))/2$. Тогда по закону сохранения энергии:
$$v = \sqrt{2 g R} \sin \alpha.$$

3  ^?? Определите минимальное значение коэффициента трения между цилиндрами $\mu$, при котором возможно движение без проскальзывания до момента, когда плоскость $OC$ займёт положение симметричное начальному по отношению к вертикали.

На систему «тело-меньший цилиндр» действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$ (см. рисунок).

Сумма векторов сил реакции и трения направлена перпендикулярно $OE$ (прямо на тело, т.к. на меньший цилиндр не может действовать ненулевой момент сил, потому что массой цилиндра и размером тела мы пренебрегаем) и равна по модулю $m g \cos \alpha$. Тогда:
$$
N = mg \cos \alpha \cos (\alpha + \beta),
\\
F_{тр} = mg \cos \alpha \sin (\alpha + \beta),
$$
где $\beta$ – угол отклонения плоскости $OC$ от вертикали, отсчитываемый в направлении качения.

Условие $F_{тр} \leq \mu N$ даёт условие для отсутствия проскальзывания:
$$
\mu \geq \operatorname{tg} (\alpha + \beta).
$$
Для того, чтобы плоскость $OC$ заняла симметричное начальному положение должно быть выполнено $\beta = \alpha$:
$$
\mu_{min} = \operatorname{tg} (2\alpha).
$$

4  ^?? Определите скорость тела в момент начала проскальзывания, если коэффициент трения между цилиндрами задан и равен $\mu$.

Проскальзывание начнётся при $\operatorname{tg} (\alpha + \beta) = \mu$. А к этому моменту тело вдоль прямой $OE$ пройдёт расстояние $l = R \sin (\alpha + \beta) = R \cfrac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$.

В таком случае из закона сохранения энергии получаем:
$$
v = \sqrt{\cfrac{2gR \mu \sin \alpha}{\sqrt{1+\mu^2}}}.
$$
Отметим, что при любом $\mu$ $l < R$, то есть проскальзывание всегда начинается раньше, чем тело ударится о поверхность большого цилиндра.