A1  ^1.00 Найдите величину тока в схеме, если коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ заданы. Найдите мощности $P_1$ и $P_2$, выделяющиеся на обоих контактах.

A2  ^1.00 Из общих термодинамических соображений и условия укажите знак коэффициентов $\alpha$ и $\beta$.

В условии задачи написано «На контакте потенциал проводника 1 всегда выше, чем у проводника 2», что может быть только тогда, когда $\alpha \geq 0 $ и $\beta > 0$

A3  ^1.00 Из общих термодинамических соображений и условия найдите минимально возможное значение коэффициента $\beta$.

Рассмотренную схему можно воспринимать как тепловую машину, полезная мощность которой - тепло $P_{пол}=I^2(R_1 + R_2)$ выделяющееся на нагрузке. При это мощность, подводимая к системе это $-P_2 = (\beta + \alpha T_2) I$. При этому КПД $\eta$ должно быть не больше КПД машины Карно:
\[ \eta = \frac{P_{пол}}{P_1}=\frac{\alpha(T_2 - T_1)}{\beta + \alpha T_2} \leq \frac{T_2 - T_1}{T_2},\]поэтому $\beta / \alpha \geq 0$. Поэтому минимальное значение $\beta_\mathrm{min}=0$.

A4  ^0.50 Пометьте в листе ответов плюсом контакты с прямым эффектом Пельтье и минусом с обратным, а также укажите стрелкой направление тока в цепи.

Контакт #1	+	При $T_2>T_1$ получается, что $P_1>0$, значит эффект Пельтье прямой
Контакт #2	-	При $T_2>T_1$ получается, что $P_2<0$, значит эффект Пельтье обратный
Направление тока	Против часовой	При $T_2>T_1$ получается, что $I>0$

B1  ^1.50 Найдите температуры $T_1$ и $T_2$ первого и второго сосудов в момент, когда в системе остановится ток.

В системе остановится ток тогда, когда разность температура станет нулевой. Обозначим теплоемкость $m$ воды за $C$. Запишем уравнения на температуру сосудов:
\[
\begin{cases}
C \dot{T}_1 = P_1 = \alpha^2 T_1 \frac{T_2 - T_1}{R_1 + R_2} \\
-C \dot{T}_2 = P_2 = -\alpha^2 T_2 \frac{T_2 - T_1}{R_1 + R_2}
\end{cases}.\]
Делением первого уравнения на $T_1$ а второго на $T_2$ получаем
\[ \frac{\dot{T}_1}{T_1} + \frac{\dot{T}_2}{T_2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln \frac{T_к}{T_{1,0}} + \ln \frac{T_к}{T_{2,0}} = 0 \quad \Rightarrow \quad T_к = \sqrt{T_{1,0} \cdot T_{2,0}} = 46^\circ С\]

B2  ^1.00 Найдите тепло $Q_1$ и $Q_2$, выделившееся на резисторах

Через резисторы течет одинаковый ток, поэтому $Q_1/Q_2 = R_1/R_2$. При этом полное тепло $Q = Q_2 (1 + R_1/R_2)$, которое выделилось на резисторах можно найти из ЗСЭ для всей системы:
\[Q + 2 C T_к = C T_{1,0} + C T_{2,0} \quad \Rightarrow \quad Q = C \left( T_{2,0}+T_{1,0} - 2 \sqrt{T_{1,0} T_{2,0}}{}\right) = C \left( \sqrt{T_{2,0}} - \sqrt{T_{1,0}} \right)^2\]\[Q_1 = cm \left( \sqrt{T_{2,0}} - \sqrt{T_{1,0}} \right)^2\frac{R_1}{R_1 + R_2} \quad Q_2 = cm \left( \sqrt{T_{2,0}} - \sqrt{T_{1,0}} \right)^2\frac{R_2}{R_1 + R_2}\]

C1  ^0.50 Найдите максимально выдаваемое напряжение такой батареи $U_0$, если $\alpha=1000~\text{мВ}/\text{К}$.

Напряжение батареи $U_0 = (R_1 + R_2) I = \alpha (T_2- T_1) = 196~В$

C2  ^2.50 Считая, что основные теплопотери происходят в проводе между двумя резервуарами (левом), и пренебрегая потерями в проводах, ведущих на нагрузку, а также стенках резервуара, найдите такое значение тока $I_0$, при котором отношение полезной работы к теплу, получаемому азотом, максимально. Найдите значение этого максимального коэффициента. Теплопроводность $\chi$ и удельное сопротивление $\rho$, а также сечение $S$ и длину $l$ левого провода считайте заданными. Провод, находящийся между резервуарами, проходит в основном снаружи. Считайте, что $\frac{\alpha^2\Delta{T}}{\rho\chi}\gg{1}$.

Полезная мощность в равна $P_п = I^2 R$. При этом мощность, которую получает азот:
\[ P_н = \alpha T_1 I + \chi \frac{\Delta T S}{l}.\]Значит их отношение $\gamma$:
\[\gamma = \frac{I^2 R}{\alpha T_1 I + \chi \frac{\Delta T S}{l}}, \quad \Rightarrow \quad \gamma' = \frac{2 IR \left(\alpha T_1I + \chi \frac{\Delta T S}{l}\right) - \alpha T_1 I^2 R }{\dots} \quad > 0 \]