При замыкании ключа в положение $1$, конденсаторы подключены к источнику параллельно и заряжаются до напряжения $U_0$ каждый (см. рисунок).
Заряд конденсаторов при этом $q_0=CU_0$.
Рассмотрим начальный этап колебаний. Ток при этом течёт в направлениях, указанных на рисунке ниже, напряжения на $C_1$ и $C_3$ уменьшаются, на $C_2$ – увеличивается.
Потенциал $\varphi_d$ точки $d$ больше потенциала $\varphi_a$ точки $a$, $\varphi_b$ больше, чем $\varphi_c$, ток через диоды не течет.
Пусть в момент времени $t$ заряд конденсаторов $C_1$ и $C_3$ равен $q(t)$ ($t=0$ при переключении ключа в положение $2$), $q(0)=q_0$. Тогда протекший через индуктивность заряд $\Delta q=q_0-q$, а на конденсаторе $C_2$ заряд $q_2=2q_0-q$. Для контура $abdca$
$$
L\dot I=\frac{q}{C}-\frac{2q_0-q}{C}+\frac{q}{C}.
$$
Учитывая, что $I=-\dot q$, получаем
$$
-L\ddot q=\frac{3q}{C}-\frac{2q_0}{C}
\quad\Rightarrow\quad
L\ddot q+\frac{3}{C}\left(q-\frac{2}{3}q_0\right)=0.
$$
Заменив $q-\frac{2}{3}q_0=q_1$, учитывая, что $\ddot q=\ddot q_1$, получим
$$
L\ddot q_1+\frac{3}{C}q_1=0.
$$
Это уравнение гармонических колебаний, причём при $t=0$ $q_1(0)=q_0/3$. Решение этого уравнения $q_1(t)=q_1(0)\cos{\omega t}=\frac{q_0}{3}\cos{\omega t},$ где $\omega=\sqrt{3/LC}$.
Для заряда $q(t)$ имеем
$$
q(t)=q_1(t)+\frac{2}{3}q_0=q_0\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cos{\omega t}\right). \tag1
$$
Качественный график $I(t)$ – синусоида симметричная относительно оси времени и выходящая из начала координат.
Ток через индуктивность при этом меняется по гармоническому закону
$$
I(t)=-\dot q=\frac{\omega q_0}{3}\sin{\omega t}.
$$
Для заряда $q_2(t)$ конденсатора $C_2$ имеем
$$
q_2(t)=2q_0-q(t)=q_0\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\cos{\omega t}\right). \tag2
$$
При $t=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}=\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$ ток через индуктивность становится равен $0$, затем течёт в обратном направлении. Однако диоды по-прежнему «закрыты», так как $\varphi_d > \varphi_a$ и $\varphi_b > \varphi_c$, поэтому в колебаниях участвует всё та же последовательная цепочка и все ранее выписанные уравнения для колебаний остаются справедливыми. По истечении полного периода колебаний $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$ ток прекращается, конденсаторы возвращаются в исходное состояние и процесс повторяется вновь.
Таким образом, в процессе колебаний ток через диоды не течет и колебания тока являются гармоническими с периодом $T=2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$. Напряжение на конденсаторах $C_1$ и $C_3$ в соответствии с $(1)$ меняется в пределах от $\frac{U_0}{3}$ до $U_0$, на конденсаторе $C_2$ в соответствии с $(2)$ в пределах от $U_0$ до $\frac{5U_0}{3}$, знаки зарядов на пластинах всех трех конденсаторов не меняются.