Оборудование: шприц на подставке из гаек, три пластиковых стаканчика, вода комнатной температуры, горячая вода, мультиметр с термопарой, линейка, шприц с иглой с внутренним радиусом $r=0.105 \pm 0.002~\text{мм}$.

Внимание! Если про погрешности ничего не написано, то автоматически считается, что их нужно вычислять.

Вязкость — одно из явлений переноса, свойство текучих тел оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. При небольших скоростях газа или жидкости течение среды является ламинарным. Движение среды при этом происходит как бы слоями, обладающими разными скоростями и общая картина скоростей квазистационарна. Примером такого процесса является медленное изотермическое течении газа (жидкости) через цилиндрическую трубу под действием разности давлений $\Delta p$. В таком процессе объёмный расход $Q=\frac{dV}{dt}$ вещества определяется формулой Пуазейля:

\[ Q = \frac{\pi \Delta p \, r^4}{8 \eta l}, \]

где $r$ — внутренний радиус трубы, а $l$ — длина трубы.

С увеличением скорости потока движение приобретает сложный, запутанный характер, слои перемешиваются, течение становится турбулентным. При этом скорость в каждой точке быстро меняет величину и направление, и сохраняется только её средняя величина.

Отношение характерной кинетической энергии к характерным энергетическим потерям на вязкость образует (с точностью до численного коэффициента) безразмерную комбинацию величин, называемую числом Рейнольдса:\[ \text{Re} = \frac{\rho v r}{\eta}, \]

где $v$ — характерная скорость течения, $\eta$ — вязкость, $\rho$ — плотность, $r$ — характерный геометрический размер течения. В цилиндрических трубах, если считать, что $v$ — средняя скорость в течении, а $r$ — радиус трубы, то переход от турбулентного к ламинарному режиму происходит при $\text{Re} \approx 10^3$. При этом, если труба соединяет два широких сосуда, то на ее краях образуются области установления движения с характерной длиной $l_\text{пер} \approx 0.2 r \cdot \text{Re}$.

o1  ^0.20 Какие единицы измерения у вязкости $\eta$?

Часть А. Метод определения вязкости.

В задаче предлагается исследовать динамику затекания воды в шприц, на который надета тонкая игла под действием малого гидростатического давления. Все задания в данной части выполняются при комнатной температуре.

За $V_\text{к}$ обозначим равновесное количество воздуха в шприце (когда уровень воды внутри шприца и снаружи совпадают), за $V_0$ начальный объем воздуха в шприце. За $S$ обозначим площадь поперечного сечения шприца, а длину иглы обозначим за $l$. Плотность воды $\rho=(1000\pm2)~\text{кг}/\text{м}^3$, ускорение свободного падения $g=(9.8\pm0.1)~\text{м}{с^2}$. Плотность воздуха при комнатной температуре $\rho_\text{в}=(1.3 \pm 0.1)~\text{кг}/\text{м}^3$.

A1  ^0.80 Используя формулу Пуазейля, получите выражение для производной объема $V$ по времени $\dot{V}=\frac{dV}{dt}$, где $V$ — объем воздуха внутри шприца. Ответ выразите через $V$, $V_к$, $S$, $l$, $r$, $\eta$, $g$ и $\rho$.

Примечание: \[ \int \frac{d x}{x} = \ln x + C,\] где $\ln x$ — натуральный логарифм от $x$. Он определяется через операцию обратную возведению числа $e$ в степень: $e^{\ln x} = x$ и принимает действительные значения для $x>0$. Из определения логарифма напрямую следуют, что он обладает такими свойствами:

1. $\ln xy = \ln x + \ln y$
2. $\ln x^n = n\ln x$
3. $\ln e^x = x$
4. $\frac{d \ln x}{ d x} = \frac{1}{x}$

A2  ^1.40 Получите зависимость $V(t)$ в явном виде. Ответ выразите через $V_0$, $V_\text{к}$, $S$, $l$, $r$, $\eta$, $g$, $\rho$ и $t$.

A3  ^6.40 Проведите измерения зависимости $V(t)$ для 19-ти разных значений $V$. Измерения времени $t$ должны быть трехкратными.

A4  ^1.75 Постройте линеаризованный график зависимости $V$ от $t$.

A5  ^0.20 Используя график пункта A5 определите вязкость воздуха $\eta$.

Вообще говоря, в физике довольно часто возникают ситуации, когда теоретическая задача сводится к дифференциальному уравнению, решения которого получаются либо очень неочевидной заменой, либо вообще не выражаются в элементарных функциях. Примером такого дифференциального уравнения является простое на первый взгляд уравнение движения $\dot{x} = \frac{x}{\sin x}$.

В таких неинтегрируемых задачах, если мы имеем хорошие экспериментальные данные, то мы можем проводить операцию численного дифференцирования, получая приближенное значение производных от измеряемых величин. Например, производную $\dot{V}$ в момент времени $t_i$ (измерения пронумерованы по возрастанию времени) можно оценить так:
\[ \dot{V}_i(t_i) = \frac{V_{i+k}-V_{i-k}}{t_{i+k}-t_{i-k}} \]
Выбирая значение $k$ можно регулировать погрешность вычисляемого значения — при слишком маленьких $k$ будет сказываться погрешность прямых измерений, а при слишком больших будет сказываться погрешность линейного приближения, то есть будет сказываться кривизна кривой.

Вам предлагается выбрать $k$ таким, чтобы относительная погрешность величины $t_{i+k}-t_{i-k}$ была меньше $20\%$ для подавляющего множества данных. Погрешность значений объема $V$ можно считать нулевой в силу методики измерения (мы наблюдаем пересечение уровнем воды узкой риски и погрешность по-настоящему есть только от неравномерности постановки штрихов шкалы, при этом при непосредственных измерениях объема мы все еще имеем погрешность порядка цены деления).

A6  ^0.95 Во всех доступных точках (их должно быть $19-2k$ штук) рассчитайте значение производной $\dot{V}$.

A7  ^0.80 Постройте график $\dot{V}$ от такой величины $X$, чтобы он был линейным и из него можно было определить значение $\eta$. Для выбора $X$ воспользуйтесь результатами пункта А1.

A8  ^0.20 Используя график пункта A7 определите вязкость воздуха $\eta$.

A9  ^0.30 Оцените характерное число Рейнольдса $\text{Re}$ для потока воздуха во время проведенного эксперимента. Оцените отношение характерного расстояния $l_\text{пер}$ к длине иглы $l$.

Часть В. Зависимость вязкости от температуры.

Вязкость газов заметно зависит от температуры и в этой части задачи Вам предстоит выяснить эту зависимость.

B1  ^5.20 Для 5-ти разных температур $T$ в диапазоне от комнатной до $75^\circ\text{C}$ проведите серии из 5-ти измерений $V(t)$. Каждое время $t$ измерьте два раза.

B2  ^1.00 Используя МНК, рассчитайте значения вязкости $\eta$ при каждой температуре.

B3  ^0.80 Постройте график $\eta$ от $T$.