Магнитное поле в плазменном шнуре на расстоянии $r$ от центра (из т. о циркуляции):
\[B=\mu_0\dfrac{j\pi r^2}{2\pi r}=\dfrac{\mu_0 jr}{2}\]Выделим цилиндрический слой длиной $l$, радиусом r и толщиной $\mathrm dr$, в котором находится $n (r) \cdot 2 \pi r\cdot l\cdot \mathrm dr$ электронов, движущихся со скоростью $v (r)$; плотность тока $j=e nv$. Условие механического равновесия для него запишется как:
\[0=F_л -\mathrm dp \cdot 2 \pi r d ; \hspace{3.5 cm}\mathrm dp \cdot 2 \pi rl=−2\pi e nv Brl \mathrm dr=−\pi\mu_0 j^2 r^2 l \mathrm dr\]Интегрируя, получим зависимость:
\[p(r)=p(0)-\mu_0 j^2 r^2/4\]Так как нам дана температура и концентрация электронного газа на оси, имеем $p(0)=nkT$.

Считая, что на границе давление равно нулю (пренебрежимо мало), получаем зависимость радиуса шнура от плотности тока:
\[\mu_0 j^2 R^2=4nkT, \hspace{3cm} R=\sqrt{\dfrac{4nkT}{\mu_0 j^2}}\]С другой стороны,
\[E=\dfrac{U-U_0}{d}=\dfrac{j}{\lambda}\]Отсюда:

Полный ток в дуге:
\[I=j\pi R^2=\dfrac{4\pi dnkT}{\lambda\mu_0(U-U_0)}\]Отсюда:
\[U=U_0+\dfrac{4\pi dnkT}{\lambda\mu_0 I},\]что совпадает с тем, что нужно

Для последовательного соединения имеем ВАХ \[U=RI+a+\dfrac{b}{I};\] для параллельного ВАХ неоднозначный и даётся формулой
\[U=Ir+\dfrac{a+IR\pm\sqrt{(a-IR)^2-4bR}}{2}\]

Ответ:

Точки, в которых может возникнуть разряд - пересечения ВАХ с горизонтальной прямой $U=\varepsilon$.

Для анализа устойчивости удобно искать пересечения ВАХ дуги с нагрузочной прямой $U=\varepsilon−RI$:

Обозначим точки пересечения за А и В. Если в точке А ток случайно увеличится на какую-то величину $\Delta I$, то напряжение на концах дуги $\varepsilon−rI$ уменьшится; однако, для горения дуги оно должно быть еще меньше, так как ВАХ лежит ниже нагрузочной прямой; таким образом, напряжение продолжит уменьшаться, а ток – расти. В точке B же при увеличении тока подаваемое напряжение уменьшается, а должно увеличиться; чтобы обеспечить это, ток уменьшается.
В общем случае условие устойчивости можно представить так: суммарное дифференциальное сопротивление цепи $\dfrac{\mathrm dU}{ \mathrm dI}$ больше нуля.

Просто решаем квадратное уравнение:
\[\varepsilon=( R+r) I +a+\dfrac{b}{I}\]Получаем два значения тока:
\[I_{\pm}=\dfrac{\varepsilon-a\pm\sqrt{(\varepsilon-a)^2-4b(R+r)}}{2(R+r)}\]При отрицательном дискриминанте пересечений у нагрузочной прямой и ВАХ дуги нет.

Условие положительности дифференциального сопротивления выглядит
как
\[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dI}(a+\dfrac{b}{I}+I(R+r))=R+r-\dfrac{b}{I^2}>0\]Отсюда:
\[I^2>\dfrac{b}{R+r}\]Заметим, что положительный корень уравнения из предыдущего пункта этому условию действительно удовлетворяет.

Устойчивый корень исчезает, когда корни $I_{\pm}$ cовпадают, т.е.
\[R=\dfrac{(\varepsilon-a)^2}{4b}-r\]

Мощность, выделяемая на активном сопротивлении
\[P_1=I^2(R+r)\]а на дуге
\[P_2=UI=a+bI\]Все мощности, включая суммарную ($\varepsilon I$) представлены на рисунке. Горение возможно в точках A и B

Ответ:

Снимая зависимость $U(l)$ при $I=\operatorname{const}$ для разных токов, понимаем, что коэффициенты – линейная функция длины разряда. Вычитая прямые $U(l)$ для разных токов, мы можем найти, что $b=c+dL$ и оба коэффициента $c$ и $d$; затем можно найти $a$ и убедиться, что оно от $L$ не зависит.
Численные ответы:
\[b=16.7~Вт+10~\dfrac{Вт}{мм}L, \hspace{3cm} a=39.3~В\]

С дугой, исследуемой в пункте C1, проводится следующий эксперимент. После получения устойчивого разряда длина дугового промежутка начинает увеличиваться, при этом ЭДС в цепи изменяется так, чтобы поддерживать ток через дугу постоянным и равным $I=5~\text{А}$. Полное омическое сопротивление цепи (без дуги) равно $R=2~\text{Ом}$. Определите:

1. при какой длине дуги разряд станет нестационарным; 
2. какова при этом будет ЭДС источника.

В предыдущих пунктах было получено, что разряд стабилен при условии
\[I^2>\dfrac{c+dL}{R};\]отсюда следует, что он перестанет быть стабильным при
\[L=\dfrac{I^2R-c}{d}\approx 3.3~мм\]Из закона Кирхгофа при этом полное напряжение в цепи
\[\varepsilon=a+IR+\dfrac{c+dL}{I}=a+2IR\approx 59~В\]