Поскольку стержень находится в равновесии — равнодействующая сил, действующих на него, должна равняться нулю, а также относительно любой точки должен равняться нулю момент действующих на стержень сил. Поскольку массой стержня можно пренебречь, можно считать, что силы прикладываются к стержню в точках $A$, $B$ и в месте положения бусинки.

Сила реакции со стороны вертикальной стены $\vec{N}_A$ направлена горизонтально, а сила взаимодействия бусинки со стержнем $\vec{N}_Б$ направлена перпендикулярно последнему, поскольку трения между ними нет. Тогда линия действия равнодействующей сил нормальной реакции и трения в точке $B$ — полной реакции опоры $\vec{Q}_B=\vec{N}_B+\vec{F}_{тр}$ — должна проходить через точку пересечения линий действия $\vec{N}_A$ и $\vec{N}_Б$ по теореме о трёх непараллельных силах. Изобразим это на рисунке.

Поскольку линия действия $\vec{N}_A$ фиксирована, а $\vec{N}_Б$ сохраняет своё направление — точка пересечения линий действия сил перемещается горизонтально. Угол наклона стержня к вертикали составляет $45^\circ$, значит смещению бусинки вдоль стержня на величину $x$ соответствует смещение пересечения линий действия сил на величину $x\sqrt{2}$.

Возможны два варианта начала движения стержня: скольжение по полу и стенке или вращение относительно нижнего конца. Предположим, что стержень начнёт проскальзывать. Это произойдет в тот момент, когда $\vec{Q}_B$ более не сможет удовлетворить условию пересечения линий действия сил, т.е. угол $\varphi$ превысит величину $\operatorname{arctg}\mu$.

Отсюда найдём перемещение бусинки $x_{max}$:
$$\cfrac{x_{max}\sqrt{2}}{L\sqrt{2}}=\mu\quad\Rightarrow\quad {x_{max}=\mu L}.$$Стержень придет в движение до момента удара бусинки о пол, если ${x_{max}< L}$, отсюда получаем условие на коэффициент трения, при котором возможна описанная ситуация $\mu<1$.
Определим скорость бусинки из закона сохранения механической энергии:
$$\cfrac{mv^2}{2}=\cfrac{mgx_{max}}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad{v=\sqrt{\sqrt{2}\mu gL}}.$$

Расставим силы, действующие на стержень, и запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$$F_{тр}+N_A-\frac{N_Б}{\sqrt{2}}=0,$$$$N_B-\frac{N_Б}{\sqrt{2}}=0$$и правило моментов относительно точки $B$:
$$N_Б (L-x)=N_A \frac{2L}{\sqrt2}.$$Из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, получим, что $N_Б=mg/\sqrt2$. Решив систему уравнений, найдем: $$N_A=\frac{mg}{2}\cdot\left(1-\frac{x}{L}\right),\qquad N_B=\frac{mg}{2}, \qquad F_{тр}=\frac{mgx}{2L}.$$Проскальзывание начнется при $F_{тр}=\mu N_B$, то есть если
$$\frac{mgx}{2L}=\frac{\mu mg}{2} \quad\Rightarrow\quad x=\mu L.$$Отсюда при условии, что $x< L$, получим $\mu < 1$.
До начала проскальзывания бусинка движется равноускорено с ускорением $a=g/\sqrt{2}$. Начальная скорость бусинки равна нулю, поэтому
$$v^2=2ax \quad\Rightarrow\quad v^2=2\cdot\frac{g}{\sqrt2}\cdot \mu L\quad\Rightarrow\quad {v=\sqrt{\sqrt{2}\mu gL}}.$$

Изобразим на рисунке условие равенства нулю равнодействующей сил, действующих на стержень (см. рис.). Обратим внимание, что из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, $N_Б=const=mg/\sqrt{2}$. Тогда имеем
$$N_A=\cfrac{mg(1-\operatorname{tg}\varphi)}{2}.$$В момент отрыва $\operatorname{tg}\varphi=\mu$, поэтому
$$N_A=\cfrac{mg(1-\mu)}{2}.$$Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при $\mu<1$, тогда $N_A>0$. Это означает, что наше предположение, о том, что проскальзывание начнется раньше переворота справедливо, а полученные ответы верны.