1  ^?? Выразите величину относительной деформации $\varepsilon_1$ тензорезистора №1 через величины $r$ и $d$.

Размер подложки после деформирования балки составит
$$l=\beta(r+d/2).$$Тогда величина относительного удлинения резистора составит
$$\varepsilon_1=\frac{l-l_0}{l_0}=\frac{d}{2r}.$$

2  ^?? Выразите величину относительной деформации $\varepsilon_2$ тензорезистора №2 через величины $r$ и $d$.

Относительное изменение длины резистора №2 будет таким же по модулю, но отрицательным.
$$\varepsilon_2=-\frac{l-l_0}{l_0} =-\frac{d}{2r}.$$

3  ^?? Определите $n$ и $\gamma$.

В ненагруженном состоянии балки напряжения на резисторах №1 и №2 одинаковы и равны половине напряжения источника питания. Показания вольтметра в этом случае будут нулевыми. При нагрузке балки сопротивление резистора №1 увеличится на величину
$$\Delta R=k\varepsilon R_0=k \cdot \frac{d}{2r}\cdot R_0\ll R_0,$$а сопротивление резистора №2 уменьшится на ту же величину. Силы тока через резисторы $R_1$ и $R_2$, соответственно, равны
$$I_1=\frac{{\cal E}}{R_1+R_0}=\frac{{\cal E}}{2R_0+\Delta R}, \qquad I_2=\frac{{\cal E}}{R_2+R_0}=\frac{{\cal E}}{2R_0-\Delta R}.$$Показание вольтметра будет равно разности напряжений на резисторах $R_3=R_0$ и составит
$$U=(I_2-I_1)R_0=\left(\frac{{\cal E}}{2R_0-\Delta R}-\frac{{\cal E}}{2R_0+\Delta R}\right)\cdot R_0=\frac{2{\cal E}R_0\Delta R}{4R_0^2-(\Delta R)^2}\approx \frac{{\cal E}}{2}\cdot \frac{\Delta R}{R_0}.$$С учетом ранее полученного выражения для изменений сопротивлений резисторов:
$$U=\frac{{\cal E}k d}{4r}=\frac{{\cal E}kdm}{4\alpha}.$$Таким образом, зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза является прямой пропорциональностью, то есть $n=1$. Тогда для коэффициента этой зависимости имеем:
$$\gamma=\frac{{\cal E}kd}{4\alpha}.$$

4  ^?? Теперь предположим, что недеформируемая линия проходит на расстоянии $x=d/4$ от верхней поверхности балки. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой $m$.

Если недеформируемая линия балки будет проходит на некотором расстоянии $x$ от верхней поверхности балки, то формулы для относительной деформации подложек резисторов №1 и №2 примут вид:
$$\begin{cases}
\varepsilon_1=x/r,\\
\varepsilon_2=-(d-x)/r. \end{cases}$$Соответственно, относительные изменения сопротивлений:
$$\begin{cases}
\Delta R_1/R_0=kx/r,\\
\Delta R_2/R_0=-k(d-x)/r. \end{cases}$$Тогда для показаний вольтметра аналогично предыдущему случаю получим:
$$U'=\left(\frac{{\cal E}}{2R_0+\Delta R_2}-\frac{{\cal E}}{2R_0+\Delta R_1}\right)\cdot R_0=\frac{{\cal E}R_0(\Delta R_1-\Delta R_2)}{(2R_0+\Delta R_1)(2R_0+\Delta R_2)}\approx \frac{{\cal E}}{4}\cdot \frac{\Delta R_1-\Delta R_2}{R_0},$$откуда
$$U'=\frac{k\,{\cal E}}{4} \left(\frac{x}{r}+\frac{d-x}{r}\right)=\frac{{\cal E}kd}{4r} =U.$$То есть полученный ранее ответ не зависит от места положения недеформируемой линии.

5  ^?? Весы перенесли в более теплое помещение, из-за этого они нагрелись. В процессе нагрева весов балка изменила свою длину, ее относительная деформация составила $\varepsilon_3$ (порядка величин $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$). Изменением толщины и ширины балки можно пренебречь. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой $m$. (Недеформируемая линия проходит посередине балки)

Теперь предположим, что балка ко всему прочему нагрелась. Тогда к относительным изменениям длины подложек резисторов добавятся еще и удлинения за счет теплового расширения балки:
$$\begin{cases}
\varepsilon_1=d/(2r)+\varepsilon_3,\\
\varepsilon_2=-d/(2r)+\varepsilon_3. \end{cases}$$Проведя аналогичные вычисления получим, что и в этом случае показания вольтметра останутся прежними:
$$U^{\prime\prime}=\frac{k\,{\cal E}}{4} \left(\frac{d}{2r}+\varepsilon_3-\frac{d}{2r}-\varepsilon_3\right)=\frac{{\cal E}k d}{4r} =U.$$То есть предложенная схема тензоэлектрического датчика является термостабильной и в целом не чувствительна к деформациям растяжения-сжатия балки.