Пусть $E_1$ — величина напряженности поля цилиндра в точке $O$, а $E_2$ – величина напряженности в точке $B$. Тогда величина силы, действующей на диполь, $F = q(E_1 + E_2)$ . Наложим на наш цилиндр еще один такой же, с поверхностной плотностью заряда симметричной исходному цилиндру: $\sigma'(x) = \sigma(H - x)$. В результате сложения получится цилиндр, равномерно заряженный по поверхности с плотностью заряда $\sigma_0$:
$$
\sigma(x) + \sigma'(x) = \sigma_0 \sin^2 \left( \frac{\pi x}{2 H}\right) + \sigma_0 \sin^2 \left(\frac{\pi (H-x)}{2 H}\right) = \sigma_0.
$$При этом по принципу суперпозиции в центре каждого из оснований будет одинаковая по величине напряженность, равная нужной нам для вычисления силы величине $E = E_1 + E_2$.
Поле в центре основания однородно заряженного цилиндра определим через скорость изменения потенциала по формуле: $E_x = - \Delta \varphi/\Delta x$. Заметим, что, если сдвинуть точку $В$ вверх на $\Delta x$, то это равносильно смещению цилиндра, то есть исчезновению вверху кольца с зарядом $\Delta q$ (обозначено на рисунке пунктирной линией) и прибавлению такого же кольца внизу. Разность потенциалов двух выделенных колец равна $\Delta \varphi = \varphi_+ - \varphi_- = \dfrac{\Delta q}{4 \pi \varepsilon_0 r} - \dfrac{\Delta q}{4 \pi \varepsilon_0 R} $, причем $\Delta q = \sigma_0 \cdot 2 \pi R \cdot \Delta x$. Таким образом,
$$
E_1 + E_2 = \frac{\sigma_0}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 +H^2}} \right),
$$и величина силы
$$
F = \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 +H^2}} \right).
$$
Участники, знакомые с интегрированием, могут вычислить $E_1 + E_2$ непосредственно из принципа суперпозиции, складывая напряженности отдельных колец $dE_x = \dfrac{dq\cdot x}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + R^2)^{3/2}}$:
$$
E_1 + E_2 = \int_0 ^H \frac{\sigma_0 \cdot 2 \pi R \, dx}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{(x^2 + R^2)^{3/2}}
=\\= \frac{\sigma_0 R}{2 \varepsilon_0}\left( - \int_0^H d \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right)\right) =
\frac{\sigma_0}{2 \varepsilon_0} \left( 1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 + H^2}}\right).
$$