Поскольку мощность силы Лоренца всегда равна нулю - кинетическая энергия частицы равна работе силы, действующей на неё со стороны электрического поля.
Отсюда:
$$\cfrac{mv^2}{2}=qEy\Rightarrow{v=\sqrt{\cfrac{2qEy}{m}}}
$$Вдоль оси $x$ на частицу действует только сила Лоренца. Из второго закона Ньютона:
$$ma_x=qv_yB(y)$$$${\Delta{v}_x(y)=\cfrac{qv_yB(y)\Delta{t}}{m}=\cfrac{\alpha q\sqrt{y}\Delta{y}}{m}}=\cfrac{2\alpha q\Delta(y^{3/2})}{3m}\Rightarrow{v_x(y)=\cfrac{2\alpha qy^{3/2}}{3m}}
$$Из условия $v=v_x$ в момент, когда скорость частицы направлена вдоль оси $x$, найдём соответствующую данному моменту координату частицы $y_1$:
$$\sqrt{\cfrac{2qEy_1}{m}}=\cfrac{2\alpha qy^{3/2}_1}{3m}\Rightarrow{y_1=\cfrac{3m}{2\alpha q}\sqrt{\cfrac{2qE}{m}}}
$$откуда:
Найдём радиус кривизны траектории в точке с координатой $y$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную направлению скорости частицы:
$$\cfrac{mv^2}{R}=qvB+qE_n
$$где $E_n$ - перпендикулярная скорости компонента электрического поля. Для неё имеем:
$$E_n=-E\cdot\cfrac{v_x}{v}=-\cfrac{\alpha y}{3}\sqrt{\cfrac{2qE}{m}}
$$Подставляя во второй закон Ньютона, находим:
$$\cfrac{2qEy}{R}=\alpha qy\sqrt{\cfrac{2qE}{m}}-\cfrac{\alpha qy}{3}\sqrt{\cfrac{2qE}{m}}=\cfrac{2\alpha qy}{3}\sqrt{\cfrac{2qE}{m}}
$$откуда:
Обратим внимание, что после остановки движение частицы повторяется — она вновь будет двигаться по окружности того же радиуса, но уже из нового положения, находящегося от начального на расстоянии, равном диаметру окружности $2R$. Также обратим внимание, что за половину периода частица проходит половину окружности, поскольку $v\sim{\sqrt{\sin\varphi}}$, где $\varphi$ — угловой размер пройденной дуги.
Тогда через время $\tau=3T/2$ координаты частицы равны $(x{,}y)=(3R{,}R)$, и модуль её перемещения составляет:
$$S(\tau)=\sqrt{10}R
$$или же: