Pho.rs: Молекулярный вибратор

1.1 ^0.60 Найдите зависимость суммарной силы упругости $F(x)$, действующей на шарик со стороны 4 пружин, от смещения шарика $x$.

Ответ: $F=4k(\sqrt{l^2+x^2}-l)\,\cfrac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}$
1.1. 2 Закон Гука	0.10
1.1. 3 Удлинение пружины	0.20
1.1. 4 Проецирование	0.20
1.1. 5 4 пружины	0.10

1.2 ^0.40 Покажите, что при $x\ll l$ формулу для суммарной силы упругости можно приближенно представить в виде
$$F=Cx^n.$$
Найдите значения постоянных величин $C$ и $n$ в этой формуле.

1.2. 1 Разложение до 3 порядка: $F\approx \cfrac{2k}{l^2}x^3$	0.40
1.2. 2 Неверный коэффициент	-0.20

1.3 ^?? Укажите, будут ли колебания шарика при отсутствии электрического поля гармоническими?

2.1 ^1.00 Найдите зависимость модуля напряженности электрического поля $E(x)$ на оси $X$ от координаты $x$. Постройте схематический график этой зависимости.

2.1. 1 Закон Кулона	0.10
2.1. 2 Ответ: $E(x)=\cfrac{q}{2\pi\varepsilon_0}\,\cfrac{h^2+x^2}{(h^2-x^2)^2}$	0.50
2.1. 5 Каждое из свойств: оси подписаны, симметрично относительно оси, в «нуле нуль», уходит в бесконечность	4 × 0.10

2.2 ^1.00 Выразите значение $E_0$ через значения $q$, $h$. Рассчитайте значения коэффициентов $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\dots$

2.2. 1 Разложение до 4 порядка	0.30
2.2. 2 Значение $E_0=\cfrac{q}{2\pi\varepsilon_0 h^2}$	0.20
2.2. 3 За каждый коэффициент: $E(z)=E_0 (1+3z^2 + 5z^4)$	5 × 0.10

2.3 ^0.50 Найдите зависимость силы $G(z)$, действующей на шарик со стороны электрического поля, от положения шарика $z$.

2.3. 1 $G(x)=\cfrac{\alpha\varepsilon_0}{h}E\cfrac{dE}{dz}$

0.50

2.4 ^2.00 Представьте полученную зависимость в приближенной виде
$$G(z)=G_1\cdot(b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + \dots),$$
где $G_1$ — значение функции $G(z)$ при $z=1$. Выразите значение $G_1$ через величины $E_0$, $\alpha$ и $h$. Найдите численные значения коэффициентов $b_0$, $b_1$, $b_2$, $\dots$. Оставьте в этой формуле столько слагаемых, сколько необходимо для дальнейших расчетов.

2.4. 1 Разложение до 3 порядка	0.60
2.4. 2 Значение коэффициента $\cfrac{\alpha\varepsilon_0}{h}E_0^2$	0.60
2.4. 3 За каждый коэффициент: $G(z)=\cfrac{\alpha\varepsilon_0}{h}E_0^2(6z+38z^3)$	4 × 0.20
2.4. 4 Значение $G_1=44\cfrac{\alpha\varepsilon_0}{h}E_0^2$	None

3.1 ^0.50 Представьте зависимость силы упругости от положения шарика в виде
$$F(z)=F_1\cdot z^n,$$
где $F_1$ — значение функции при $z=1$. Выразите значение $F_1$ через заданные параметры модельной системы.

3.1. 1 $F=\cfrac{2kh^3}{l^2}z^3$

0.50

3.2 ^1.00 Выразите значения координаты положения равновесия $z_0$ через параметры системы $F_1$ и $G_1$.

3.2. 1 Уравнение $G_1\left(\cfrac{3}{22}z+\cfrac{19}{22}z^3\right)=F_1z^3$	0.70
3.2. 2 Решение $z_0=\pm\sqrt{\cfrac{3G_1}{22F_1-19G_1}}$	0.30

3.3 ^0.50 Найдите максимальное значение напряженности электрического поля в начале координат $E_{0\max}$, при котором шарик может совершать колебания.

3.3. 1 $E_{0\max}=\sqrt{\cfrac{kh^4}{19\alpha\varepsilon_0 l^2}}$

0.50

3.4 ^2.00 Рассчитайте частоту $\nu$ малых колебаний шарика вблизи положения равновесия $z_0$, если напряженность электрического поле в начале координат $E_0 < E_{0\max}$. Выразите значения частоты $\nu$ через параметры $F_1$, $G_1$, $z_0$ и $m$.

3.4. 1 Разложение возле нового положения равновесия: $m\ddot x=mh\ddot z=G(z_0+\delta)-F(z_0+\delta)$	0.50
3.4. 2 Разложение силы: $G(z)=\cfrac{G_1}{22}(3z_0+19z_0^3)+\cfrac{G_1}{22}(3+57z_0^2)\delta$	0.30
3.4. 3 $F(z)\approx F_1z_0^3+3F_1z_0^2\delta$	0.30
3.4. 4 Уравнение гармонических колебаний $\ddot\delta=-\cfrac{3F_1z_0^2-\frac{1}{22}G_1(3+57z_0^2)}{mh}\delta$	0.40
3.4. 5 $\nu=\cfrac{1}{2\pi}\sqrt{\cfrac{3F_1z_0^2-\frac{1}{22}G_1(3+57z_0^2)}{mh}}$	0.50

Молекулярный вибратор

Разбалловка