Pho.rs: Пьезопластинка

A1 ^?? Подключите последовательно соединенные резистор и пьезоэлемент к генератору сигналов. Установите на генераторе сигнал синусоидальной формы амплитудой $3~В$. Измерьте зависимость удвоенной амплитуды напряжения на резисторе ($V_{pp}$) от частоты сигнала в диапазоне от $3$ до $30~кГц$. Нанесите полученную зависимость на график.

Соберем электрическую, цепь изображенную на рисунке 1.

Рис. 1. Пьезопластинка

Установим на генераторе сигнал амплитудой $U_0 = 3000~мВ$. Измерим зависимость напряжения на резисторе в зависимости от частоты подаваемого сигнала. Обратим особое внимание на поведение исследуемой зависимости в диапазоне частот от $6$ до $10~кГц$.

Ответ:

$f, ~кГц$	$u,~ мВ$	$f, ~кГц$	$u,~ мВ$	$f,~ кГц$	$u,~ мВ$	$f, ~кГц$	$u,~ мВ$
3.00	84	6.60	480	7.45	186	12.00	216
4.00	106	6.65	332	7.50	268	13.00	240
5.00	134	6.70	224	7.60	135	14.00	254
6.00	178	6.80	104	7.70	90	15.00	272
6.10	192	6.90	72	7.80	96	18.00	332
6.20	216	7.00	32	7.90	108	21.00	384
6.30	324	7.10	58	8.00	110	24.00	432
6.40	420	7.20	76	9.00	152	27.00	484
6.45	588	7.30	113	10.00	172	30.00	532
6.50	612	7.40	140	11.00	198	$-$	$-$

График зависимости напряжения на резисторе от частоты подаваемого на цепь сигнала.

Ответ:

График зависимости напряжения на резисторе от частоты подаваемого на цепь сигнала в области частот от $3~кГц$ до $10~кГц$.

Ответ:

A2 ^?? Предположите теоретически, какой функцией может быть описана измеренная зависимость, если рассматривать элемент как конденсатор с постоянной емкостью. В своих теоретических выкладках считайте сопротивление резистора много меньшим модуля импеданса пластинки ($R\ll {1}/{2 \pi f C}$).

Исходя из предположения, что пьезоэлемент ведет себя, как конденсатор постоянной емкости (на частотах выше $16~кГц$), запишем выражение для модуля импеданса последовательно соединенного резистора $R$ и конденсатора $C$.\begin{equation}
Z=\sqrt{R^2+\Big(\frac{1}{2 \pi f C}\Big)^2}.\tag{3}\end{equation}Так как при измеряемых частотах модуль импеданса пьезоэлемента много больше сопротивления резистора, можно написать выражение для напряжения на резисторе на частоте $f$ в виде:

Ответ: \begin{equation}
U=U_0 \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2+\Big(\frac{1}{2 \pi f C}\Big)^2}} = U_0 \cdot 2 \pi f R C .
\tag{4}\end{equation}

A3 ^?? Укажите, опираясь на полученный в пункте A1 график, в каком диапазоне частот пьезоэлемент ведет себя как конденсатор. Определите его емкость.

В диапазоне от $10~ кГц$ до $30~кГц$ график хорошо описывается линейной функцией, проходящей через ноль, с угловым коэффициентом наклона $k = 17.6 \cdot 10^{-6}~В/Гц$.

Тогда для емкости $C$ получаем:

Ответ:
\begin{equation}
C = \dfrac{k}{2 \pi R U_0} = 9.3 \ \text{нФ}.
\tag{5}\end{equation}

A4 ^?? Кратко опишите основные особенности графика в остальном диапазоне частот. Укажите частоты локальных экстремумов.

Ответ: В диапазоне частот от $3~ кГц$ до $10~ кГц$ на графике наблюдаются два последовательных пика, соответствующие резонансам. Больший резонанс соответствует частоте $f_{\max1} = 6.45~кГц$, малый резонанс соответствует частоте $f_{\max2} = 7.55~ кГц$.

A5 ^?? Считая пьезоэлемент конденсатором, измерьте зависимость его емкости на частоте $30~кГц$ от температуры. Постройте график исследуемой зависимости в координатах, в которых она является линейной функцией в соответствии законом Кюри-Вейса. Определите температуру Кюри исследуемого пьезоэлектрика.

Нальем в стакан горячую воду. Подключим пьезоэлемент в схему на рис. 2 и погрузим пробирку, в которой он находится, в стакан. Установим частоту генератора равной $30~ кГц$. Измерим зависимость напряжения на резисторе от температуры воздуха в пробирке при его остывании. Рассчитаем величину обратной емкости пьезоэлемента для каждой температуры
\begin{equation}
\dfrac{1}{C} = \dfrac{2 \pi R U_0 f_{30}}{U} .
\tag{6}
\end{equation}

Ответ:

$t, ~ ^\circ\mathrm C$	$U,~ мВ$	$C^{-1}, ~ 10^7~ Ф^{-1}$
68.6	752	7.28
66.7	736	7.44
62.6	732	7.49
61.6	728	7.35
59.2	712	7.71
57.7	708	7.76
55.8	704	7.80
53.6	696	7.90
51.3	684	8.05
49.1	680	8.10
46.6	672	8.20
43.3	660	8.35
25.6	604	9.17

График зависимости обратной емкости от температуры

Ответ:

Видно, что полученная зависимость достаточно хорошо описывается линейной функцией. Экстраполируем ее график до пересечения с осью температур и найдем тем самым температуру Кюри материала пьезоэлемента

Ответ: \[T_c =234\,^\circ\mathrm C\]

Пьезопластинка

Решение