A1  ^5.60 Измерьте зависимость расстояния $a$ до каждого из изображений от объема воды $V$, налитого в середину шайбы, при постоянном $b$. Объем воды можно определить, используя помещенное внутрь шайбы число капель. Измерения расстояний $a$ проводите только в той области, где линза является собирающей. Изображения лучше всего видны на белой бумаге.

Соберем из шайбы, предметного стекла и вазелина конструкцию, описанную в условии. Объем водяной линзы крайне мал. Для его измерения будем считать количество капель, упавших в центр шайбы с конца иглы шприца. Предварительно определим объем одной капли. Будем выдавливать капли из шприца поршнем и измерять зависимость количества упавших капель от положения поршня. Построим соответствующий график и определим его угловой коэффициент, который и будет являться объемом одной капли.

$n, ~шт$	0	20	40	60	80	100	120	140
$V_{шприца}, ~мл$	0.96	0.84	0.72	0.60	0.48	0.36	0.24	0.12

Рассчитав угловой коэффициент графика, получаем для одной капли:
$$
V_1=6.0~\text{мкл}.
$$Для измерения фокусного расстояния соберем установку, изображенную на рисунке 3. Будем использовать короткую линейку в качестве экрана, стараясь при измерениях не задевать брусок, чтобы поверхность воды в водяной линзе не волновалась. Расстояние между фонариком и линзой $b$ сделаем как можно большим для того, чтобы изображения светодиода фонарика было как можно меньшего размера для остроты фокусировки.

Измерим зависимость расстояний между изображениями и линзой $a$ от количества капель, упавших в центр шайбы, $N$ при неизменном расстоянии между фонариком и экраном $b=862~мм$.

Рассчитаем объем воды в шайбе как:
\begin{equation}
  V=NV_1.
\end{equation}Фокусное расстояние рассчитаем на основе формулы тонкой линзы:
\begin{equation}
 F=\frac{ab}{a+b}.
\end{equation}Радиус кривизны поверхности линзы рассчитаем в соответствии с формулой:
\begin{equation}
R=(n-1)F.
\end{equation}Предполагая, что вода над верхней поверхностью шайбы принимает форму шарового сегмента, можем рассчитать высоту шарового сегмента, исходя из геометрических соображений:
\begin{equation}
 h=R-\sqrt{R^2- \left(\frac{D}{2} \right)^2}.
\end{equation}Объем воды над верхней поверхностью шайбы тогда может быть рассчитан на основе формулы:
\begin{equation}
v=\pi h^2 \left(r-\frac{h}{3} \right),
\end{equation}Занесем измерения и расчетные величины в таблицы.

Таблица для дальнего фокуса

Таблица для ближнего фокуса

A2  ^?? По полученным в пункте A1 данным рассчитайте фокусные расстояния линзы, соответствующие двум изображениям. Из полученных фокусных расстояний рассчитайте объёмы «шапочки», предполагая, что она является сферическим сегментом.

Результаты пересчёта точек приведены в таблице выше.

A3  ^2.40 Постройте график зависимости рассчитанного объема $v$ для двух найденных вами фокусов от налитого в центр шайбы объема $V$. Обе зависимости изобразите на одном графике.

Построим графики зависимостей расчетных объемов воды в капельной линзе $v$ от измеренного $V$, исходя из данных о двух разных фокусах. Резкий изгиб графиков при больших объемах капли соответствует началу вытекания капли из внутренней области шайбы. Не будем обращать внимания на эту область графиков.

A4  ^2.00 Каким должен быть теоретический график $v(V)$, если считать, что капля принимает форму сферического сектора? Является ли верным предположение о том, что полученную водяную линзу можно считать шаровым сегментом?

Свой ответ обоснуйте.

Видно, что оставшиеся части графиков можно описать линейными функциями. Некоторое смещение графиков говорит о том, что в шайбе кроме воды в шапочке есть еще и вода в отверстии. Для теоретического графика угловой коэффициент данной зависимости равен единице $k_{theor}=1$. Однако угловые коэффициенты аппроксимирующих прямых для разных фокусов составляют $k_2=0.57$ и $k_1\approx 1.1$. Это объясняется тем, что вода принимает не сферическую форму. В центральной части капли радиус кривизны поверхности больше, что соответствует нижнему фокусу. А по краям шайбы радиус кривизны меньше (рис. 5). То есть края линзы создают ближнее к линзе изображение, а центр линзы формирует дальнее изображение (рис. 6). Значение $k_{theor}$, отвечающее модели сферической формы «шапочки» лежит в пределах измеренных коэффициентов $k_1$ и $k_2$.

A5  ^?? Объясните, почему свет фокусируется в нескольких точках. Дайте краткое объяснение возможного расхождения экспериментальных данных пункта A3 с теоретическими предположениями пункта A4.

Форма «шапочки» определяется конкуренцией двух типов сил: гравитации и поверхностного натяжения. Так или иначе «шапочка» определенного объема принимает такую форму, при которой сумма потенциальной энергии силы тяжести и энергии, связанной с поверхностью капли, минимизируется. Модель сферического сегмента верна лишь в тех случаях, когда потенциальной энергией силы тяжести можно пренебречь по сравнению с поверхностной энергией. Объем «шапочки», а вместе с тем и ее гравитационная энергия пропорциональны кубу ее характерного размера. Поверхностная же энергия пропорциональна квадрату характерного размера. Поэтому для шайб малого диаметра форма шапочки будет определяться поверхностным натяжением и вполне описывается моделью сферического сектора. Для больших шайб капля будет практически плоской. В этих случаях ключевую роль играет гравитационная энергия.