Измерим диаметр недеформированной проволоки при помощи микрометра. Проведем несколько измерений вдоль длины и усредним.

Тогда:

Измерим сопротивление выданного резистора $R=100.8~Ом$. Соберем установку, описанную в условии, и подключим проволоку к батарейке, соединенную последовательно с резистором. Для исключения сопротивления контактов при измерении воспользуемся четырехточечной схемой измерения (рис. 1).

Подключим подключим последовательно с проволокой резистор и батарейку. Подключим один вольтметр параллельно к участку проволоки длиной 50 см, а второй вольтметр к резистору.

Измерим показания вольтметров $U_1 = 52~ мВ$, $U_2= 1451 ~ мВ$. Тогда:

Рассчитаем удельное сопротивление недеформированной проволоки.
\begin{equation}
r_0=\rho_0\dfrac{l_0}{S_0}=\rho_0\dfrac{4l_0}{\pi d_0^2}
\tag{4}
\end{equation}

Закрепим проволоку как описано в условии. Вновь воспользуемся четырехточечной схемой измерения.

Будем растягивать проволоку и измерять длину изучаемого участка, а также записывать показания вольтметров.

Измерим длину изучаемого участка проволоки после ее разрыва $l_р = 68 ~ см$. Тогда ее относительная деформация равняется $\varepsilon_р = {l_р}/{l_0} -1 = 36\% $. Измерим микрометром диаметр деформированной проволоки. Также проведем несколько измерений вдоль длины и усредним.

Тогда:

Запишем выражение для связи малого изменения диаметра проволоки и малого изменения ее длины:\begin{equation}
\frac{\Delta d}{d}=-\gamma \frac{\Delta l}{l}.
\tag{6}\end{equation}Также запишем как связаны малые изменения продольного и поперечного размеров проволоки с малым изменением ее объема:
\begin{equation}
\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\Delta l}{l} + \dfrac{\Delta S}{S} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\dfrac{\Delta d}{d}.
\tag{7}\end{equation}C учетом $(6)$ можно записать:
\begin{equation}
\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\dfrac{\Delta d}{d} = \dfrac{\Delta l}{l} + -2\gamma \dfrac{\Delta l}{l}= (1-2\gamma )\dfrac{\Delta l}{l}.
\tag{8}\end{equation}Если при деформации плотность материала остается постоянной, то и объем изучаемого тела не меняется. Иными словами $\Delta V = 0$. Тогда, получаем:
\begin{equation}
1-2\gamma_{theor}=0\implies
\tag{9}\end{equation}

Следует понимать, что в знаменателе дробей формулы $(6)$ для относительного изменения размеров стоит текущее значение размера. Требуемые по условию задачи продольные деформации должны составлять не менее 30%. Их нельзя считать малыми, поэтому для получения связи изменения размеров в больших пределах, исходное выражение необходимо проинтегрировать. Тогда получим:
\begin{equation}
\ln \frac{d}{d_0}=-\gamma \ln \frac{l}{l_0}.
\tag{11}\end{equation}где индекс $0$ обозначает параметры недеформированной проволоки.

Для определения величины $\gamma$ рассчитаем значения $\ln \dfrac{d_р}{d_0} $ и $\ln \dfrac{l_р}{l_0}$ и найдем их отношение.

Запишем выражение для сопротивления участка проволоки: \begin{equation} r=\rho \frac{4 l}{\pi d^2}. \tag{13}\end{equation} Тогда для отношения сопротивлений в растянутом и нерастянутом состояниях: \begin{equation} \frac{r}{r_0}=\frac{\rho}{\rho_0}\frac{l}{l_0}\frac{d_0^2}{d^2}. \tag{14}\end{equation} Или в логарифмическом представлении: \begin{equation} \ln{\left(\frac{r}{r_0}\right)}=\ln{\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)}+\ln{\left(\frac{l}{l_0}\right)}+\ln{\left(\frac{d_0^2}{d^2}\right)}. \tag{15}\end{equation} C учетом связи между поперечным и продольным размерами проволоки: \begin{equation} \ln{\left(\frac{r}{r_0}\right)}=\ln{\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)}+(1+2\gamma)\ln{\left(\frac{l}{l_0}\right)}. \tag{16}\end{equation} Если предположить, что удельное сопротивление проволоки не зависит от ее длины при деформировании, то график зависимости $\ln{\left({r}/{r_0}\right)}$ от $\ln{\left({l}/{l_0}\right)}$ должен описываться линейной функцией с угловым коэффициентом $k_{theor}=1+2\gamma$. Проверим это, построив соответствующий график.

График зависимости логарифма сопротивления проволоки от логарифма ее длины.

Ответ:

Видно, что полученный график может быть описан линейной функцией с угловым коэффициентом $k_{exp}=2.35\pm0.05$. Поскольку точность измеряемых в эксперименте величин достаточно высока, то можно описать полученный график более подробно. Угловой коэффициент графика при малых пластических деформациях составляет $k_{exp1}\approx2$, а при больших меняется вплоть до $k_{exp2}\approx2.8$.

Если считать, что при деформации плотность, а значит и объем материала проволоки не меняется, то угловой коэффициент построенного графика должен равняться $k_{theor}=1+2\gamma_{theor}=2$.

Диапазоны значений $k_{exp}$ и $k_{theor}$ не пересекаются, поэтому можно сделать вывод, что удельное сопротивление проволоки по мере растяжения меняется в большую сторону. При этом основываясь на коэффициентах $k_{exp1}$ и $k_{exp2}$ можно утверждать, что скорость роста удельного сопротивления возрастает с величиной пластической деформации. Такую связь измеренных величин можно объяснить тем, что сопротивление материала в частности определяется концентрацией дефектов в кристаллической решетке. По мере пластического деформирования количество дефектов увеличивается, а вместе с тем увеличивается и удельное сопротивление. Рассчитаем значения удельного сопротивления проволоки в деформированном до $30 \%$ относительного удлинения состоянии.

\[\rho_{30}=\dfrac{r \pi d_{30}^2}{4l_{30}}= \pi \dfrac{(6,58 \ \text{Ом})\cdot (0.311 \pm 0.009\  \text{мм})^2}{4\cdot (65 \ \text{см})}=(7.7\pm0.20)\cdot10^{-7} \ \text{Ом}\cdot\text{м},\]где $l_{30} = 65~ см$ – длина исследуемого участка при относительной продольной деформации 30%, а $d_{30} = d_0\left({l_{30}}/{l_0}\right)^{-\gamma_{theor}} = 311 \pm 9 ~ мкм$ – диаметр исследуемого участка при относительной продольной деформации $30\%$, рассчитанный из предположения о постоянстве объема.

Оценим процентный рост удельного сопротивления:
 

Исследуем, как изменяются упругие свойства проволоки при ее растяжении. Для этого соберем установку, изображенную на рис. 3. Закрепим проволоку с помощью струбцин на столе в натянутом состоянии. Измерим расстояние между зажатыми концами проволоки $L=90.0\pm0.2~ см$. К середине проволоки привяжем нитку, на которой сделаем крепление для крючка динамометра. Измерим расстояние $x$, на которое сместился центр проволоки от начального недеформированного положения. Будем измерять зависимость показаний динамометра $F$ от смещения центра проволоки $x$, измеряемого при помощи бумажной линейки, приклеенной к столу.

Точка прикрепления нити к проволоке находится в равновесии под действием трех сил: силы натяжения нити, равной показаниям динамометра, а также двух сил упругости $F_{упр}$, возникающих в проволоке. Тогда, в силу малости углов наклона к горизонту сил натяжения, условие равенства суммы проекций этих сил на вертикальную ось нулю можно записать как: \begin{equation} 2F_{упр}\frac{2x}{L}=F, \tag{18}\end{equation} Тогда: \begin{equation} F_{упр}=\frac{FL}{4x}. \tag{19}\end{equation} Запишем длину проволоки в состоянии когда ее узелок смещен на расстояние $x$, воспользовавшись при этом формулами приближенного исчисления. \begin{equation} l=2\sqrt{(L/2)^2+x^2}\approx L+\frac{2x^2}{L}. \tag{20}\end{equation} Видно, что увеличение длины проволоки меньше длины $x$ по порядку величины в ${L}/{x}$ раз, что и дает возможность косвенного измерения величины удлинения, через измеряемую напрямую величину $x$. Рассчитаем относительное удлинение проволоки. \begin{equation} \varepsilon=\frac{(L+\frac{2x^2}{L})-L}{L}\approx\frac{2x^2}{L^2}. \tag{21}\end{equation} Построим график зависимости $F$ от $\varepsilon$. Так как точность измерения координаты $x$ низкая ($\sigma_x=0.5~ мм$), рассчитаем погрешности точек графика. \begin{equation} \Delta {F_{упр}}= F_{упр}\left(\dfrac{\Delta x}{x}+\dfrac{\Delta F}{F}\right) ,\qquad \Delta \varepsilon=\dfrac{2x^2}{L^2}\cdot\dfrac{2\Delta x}{x} \tag{22}\end{equation}

Проведем описанные измерения и занесем результаты в таблицу.

Построим требуемый график.

Ответ:

График зависимости механического напряжения от относительного продольного удлинения для предварительно недеформированной пластически проволоки.

На графике можно обнаружить несколько областей. При нагрузке проволока сначала деформируется упруго. Начиная со значения механического напряжения $\tau\approx250~ МПа$ проволока начинает менять свою длину пластически. Вслед за нагрузкой в опыте проводилась разгрузка. На этом участке, график также как и при упругой нагрузке можно описать линейной функцией. Ее угловой коэффициент определяет модуль Юнга проволоки:

Проведем аналогичные измерения предварительно растянутой до относительного удлинения в $30 \%$ проволоки. Для расчетов механического напряжения в проволоке будем использовать значение диаметра проволоки $d_{30}$, рассчитанное ранее. Начало пластической деформации в этом случае достоверно зафиксировать затруднительно. Это означает, что механическое напряжение, требуемое для начала пластической деформации превышаем предел измерений в данном опыте. То есть можно утверждать, что предел текучести $\tau'$ для предварительно растянутой пластически проволоки больше, чем для нерастянутой. В этом случае говорят о деформационном упрочнении.

Построим требуемый график.

Ответ:

График зависимости механического напряжения от относительного продольного удлинения для предварительно деформированной до $30\%$ относительной пластической деформации проволоки.

Рассчитаем угловой коэффициент последнего графика: