1
??
Определите, у какого из резисторов наименьшее сопротивление.
Для начала найдем сопротивления $3$, $5$ и $6$ резисторов. Для этого проделаем следующие опыты:
Измерим сопротивление $R_{a}$ между замкнутыми точками БД и замкнутыми точками ВГ. Полученная цепь представляет параллельное соединение $3$ и $5$ резисторов, поэтому $\frac{1}{R_{a}} =\frac{1}{R_{3}} +\frac{1}{R_{5}}$ .
Измерим сопротивление $R_{б}$ между замкнутыми точками БГ и точкой В. Полученная цепь представляет параллельное соединение $3$ и $6$ резисторов, поэтому $\frac{1}{R_{б}} =\frac{1}{R_{3}} +\frac{1}{R_{6}}$.
Измерим сопротивление $R_{в}$ между замкнутыми точками ВД и точкой Г. Полученная цепь представляет параллельное соединение $5$ и $6$ резисторов, поэтому $\frac{1}{R_{в}} =\frac{1}{R_{5}} +\frac{1}{R_{6}}$. Из первых трех опытов получим: $$\frac{1}{R_{3}} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{а}} +\frac{1}{R_{б}} -\frac{1}{R_{в}}\right),$$ откуда найдем $R_{3}$, аналогично найдем $R_{5}$ $$\frac{1}{R_{5}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{а}} +\frac{1}{R_{в}} -\frac{1}{R_{б}}\right)$$ и $R_{6}$ $$\frac{1}{R_{6}} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{в}} +\frac{1}{R_{б}} -\frac{1}{R_{а}}\right).$$
Теперь соединим вместе точки Б, В и Г. Получим треугольник из резисторов, две стороны треугольника представлены резисторами $1$ и $4$, а третья — параллельным соединением резисторов $2$ и $5$. Важно выбрать именно такой вариант, так как измеряя сопротивления между различными парами выводов можно определить, что сопротивления резисторов $1$, $2$ и $4$ заметно меньше остальных. Для повышения точности к резистору $2$ нужно присоединить параллельно максимально сравнимый с ним, то есть обладающий наименьшим сопротивлением из оставшихся. Получим эквивалентную схему:
Дополнительно соединим точки Б и Д и измерим сопротивление $R_{x}$ между ними и точкой А. $$\frac{1}{R_{x}} =\frac{1}{R_{4}} +\frac{1}{R_{1}}$$
Вместо Б и Д соединим Б и А и измерим сопротивление $R_{y}$ между ними и точкой Д. $$\frac{1}{R_{y}} =\frac{1}{R_{4}} +\frac{1}{R_{2}} +\frac{1}{R_{5}}.$$
Вместо Б и А соединим Д и А и измерим сопротивление $R_{z}$ между ними и точкой Б. $$\frac{1}{R_{z}} =\frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} +\frac{1}{R_{5}}.$$
Теперь можно вычислить оставшиеся сопротивления. $$\frac{1}{R_{1}} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{x}} +\frac{1}{R_{z}}-\frac{1}{R_{y}}\right),$$ аналогично $$\frac{1}{R_{4}} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{x}} +\frac{1}{R_{y}} -\frac{1}{R_{z}}\right)$$ и $$\frac{1}{R_{2}} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{z}} +\frac{1}{R_{y}} -\frac{1}{R_{x}}\right)-\frac{1}{R_{5}}.$$
Для определения какие выводы нужно соединить, чтобы получить $167~Ом$, рассчитаем для каждого резистора величину обратную его сопротивлению и посмотрим какие из них дают в сумме $\frac{1}{167}~Ом^{-1}$. Из полученных значений следует, что идеально подходят $R_{1}$ и $R_{2}$. То есть требуется соединить точки А, В, Г и Д и измерять сопротивление между ними и точкой Б. Также можно заметить, что число очень близкое к $167~Ом$, мы получили при измерении $R_{z}$.
Оценим погрешность. Погрешность измеряемых сопротивлений составляет $1\%$, тогда и погрешность величин, обратных к измеренным сопротивлениям тоже составляет $1\%$. Вычислим абсолютные погрешности величин $1/R$ по формуле $\Delta\left(\frac{1}{R}\right)=\frac{\varepsilon(R)}{R}$. При сложении величин складываются их абсолютные погрешности, поэтому $$\Delta \left(\frac{1}{R_{1}}\right)=\frac{1}{2}\left(\Delta \left(\frac{1}{R_{x}}\right)+\Delta \left(\frac{1}{R_{y}}\right)+\Delta \left(\frac{1}{R_{z}}\right)\right).$$ Тогда $\varepsilon \left(R_{1}\right)=\varepsilon \left(\frac{1}{R_{1}}\right)=\Delta \left(\frac{1}{R_{1}}\right) R_{1}$, соответственно $\Delta \left(R_{1}\right)=\Delta \left(\frac{1}{R_{1}}\right) R_{1}^{2}$. Для остальных сопротивлений погрешность вычисляется аналогично.
Измерения и расчеты (Авторские значение могут отличаться от выданного вам оборудования).
Что измеряли
Значение, кОм
$R^{-1},~кОм^{-1}$
$\Delta(R^{-1}),~кОм^{-1}$
$R_а$
12.53
0.0798
0.000798
$R_б$
24.9
0.0402
0.000402
$R_в$
16.69
0.0599
0.000599
$R_x$
0.1239
8.0710
0.080710
$R_y$
0.242
4.1322
0.041322
$R_z$
0.1645
6.0790
0.060790
Что вычислили
Значение, кОм
$\Delta R,~кОм$
Ответ, кОм
$R_1$
0.199
0.004
$0.199\pm 0.004$
$R_2$
0.979
0.09
$0.98\pm 0.09$
$R_3$
33.5
1.0
$34\pm 1$
$R_4$
0.326
0.01
$0.33\pm 0.01$
$R_5$
20.5
0.4
$20.5\pm 0.4$
$R_6$
97.1
8
$97\pm 8$
Как видно из таблицы наименьшим сопротивлением обладает первый резистор.
2
??
Найдите сопротивления всех резисторов и оцените их погрешности.
3
??
Как необходимо соединить выводы «серого ящика» друг с другом, чтобы сопротивление получившейся цепи между некоторыми двумя точками было равно $(167\pm 5)~Ом$? Укажите, какие выводы необходимо соединить и между какими выводами при этом получится требуемое сопротивление.
