0  ^?? Укажите массы гаек М8 и М10, которые указаны у вас на установке. Запишите номер своей установки, если он указан.

1  ^?? Определите период колебаний кольца при различных массах груза (не менее 5 значений). Оцените погрешности.

В таблице приведены результаты измерений периода колебаний кольца при различных массах груза. В качестве груза использовались гайки, который закреплялись на внутренней поверхности кольца с помощью небольшой полоски скотча.

М8, шт.	М10, шт.	$m,~г$	$N$	$t_1,~с$	$t_2,~с$	$t_3,~с$	$t_4,~с$	$t_5,~с$	$T_{ср},~с$
1	0	4.5	5	8.84	9.04	9.28	9.06	9.24	1.82
0	1	10.2	5	6.36	6.49	6.57	6.60	6.30	1.29
0	2	20.4	10	9.30	9.50	9.22	9.38	9.42	0.94
0	3	30.6	10	7.77	7.76	7.81	7.81	7.90	0.78
0	4	40.8	10	6.70	6.85	6.87	6.87	6.98	0.69
0	6	61.2	10	5.85	5.62	5.75	5.77	5.78	0.58
0	10	102.0	10	4.75	4.70	4.63	4.72	4.64	0.47

2  ^?? Получите теоретическое выражение для периода колебаний.

При повороте кольца относительно положения равновесия на угол $\varphi$ потенциальная энергия груза увеличивается на $\Delta E_{п}=mgR(1-\cos \varphi)$. При малых $\varphi$ $\cos\varphi \approx 1-\dfrac{\varphi^{2}}{2}$. Отсюда $\Delta E_{п} \approx mgR \frac{\varphi^{2}}{2}$.
При малых колебаниях кинетической энергией груза можно пренебречь, так как его скорость составляет величину порядка $R\varphi \dot{\varphi}$, соответственно его кинетическая энергия — величина порядка $\dfrac{mR^{2}(\varphi \dot{\varphi})^{2}}{2}$ — много меньше кинетической энергии всего кольца $E_{к}=MR^{2} \dot{\varphi}^{2}$.
Закон сохранения энергии при колебаниях
$$
MR^{2} \dot{\varphi}^{2}+mgR \frac{\varphi^{2}}{2}=\mathrm{const}.
$$Отсюда
$$
T=2\pi \sqrt{\frac{2MR}{mg}}.
$$

3  ^?? Используя графическую обработку полученных экспериментальных данных, проверьте их соответствие теоретической модели.

Из полученного в п.$2$ выражения $T=Am^{-0.5}$, где $A=2\pi \sqrt{\frac{2MR}{g}}$, после возведения в квадрат получаем
$$T^{2}=\frac{8\pi^{2} MR}{g} \cdot \frac{1}{m}.$$При соответствии экспериментальных данных этой теоретической модели зависимость $T^{2}\left(\frac{1}{m}\right)$ должна быть линейной с угловым коэффициентом $k=\frac{8\pi^{2} MR}{g}$. Результаты такой обработки экспериментальных данных представлены в таблице и на графике.

$T^2,~с^2$	3.3	1.7	0.88	0.61	0.48	0.34	0.22
$m^{-1},~кг^{-1}$	222	98	49	32.8	24.5	16.3	9.8

4  ^?? Используя результаты п. 3, определите массу пластмассового кольца и оцените её погрешность.

Погрешность определения значения $T^{2}$ оценим как $\Delta (T^{2})=2T\Delta T$, где $\Delta T=\sqrt{(\Delta T_{сист})^{2}+(\Delta T_{сл})^{2}} $. Величину $\Delta T_{сист}$ считаем равной $\frac{\Delta t}{N} \approx 0.05~с$ ($\Delta t$ — погрешность определения времени $10$ колебаний), случайная погрешность данных много меньше $\Delta T_{сл} \ll \Delta T_{сист}$. График зависимости $T^{2} \left(\frac{1}{m}\right)$ с учетом погрешности $T^{2}$ представлен на рисунке. Определенное по графику значение углового коэффициента $k=0.16 \pm 0.01~кг \cdot с^{2}$. Отсюда масса пластмассового кольца $M=36\pm 2~г$.