Небольшой магнит с магнитным дипольным моментом $p$ и массой $m$ падает в длинной вертикальной немагнитной металлической трубке, как показано на рисунке (масштаб не соблюден). Процесс падения магнита описывается уравнением: $$m\ddot z=mg-k\dot z$$ Здесь $g$ - ускорение свободного падения, а коэффициент $k$ обусловлен возникающими в трубке вихревыми токами.

1  ^0.50 Найдите установившуюся скорость $(v_T)$ падения магнита.

2  ^1.00 Найдите зависимость координаты магнита $z(t)$ от времени $t$ при начальных условиях $v(t= 0) = 0$ и $z(t = 0) = 0$.

Изучим подробнее динамику падения магнита. В пунктах (I.3) — (I.8) рассматривается упрощенная задача о падении магнита вдоль оси неподвижного немагнитного металлического кольца радиуса $a$, электрическим сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$, как показано на рис. В дальнейшем полностью пренебрегайте излучением электромагнитных волн.

В нашем случае удобно использовать цилиндрическую систему координат $(\rho, \varphi, z)$, изображенную на рисунке выше и выбранную таким образом, что ось $z$ совпадает с осью кольца. В начальный момент времени магнит покоится в начале координат, а центр кольца имеет координату $z_0$. На том же рисунке показаны оси обычной декартовой системы координат ($x,y,z$). Считайте, что дипольный момент магнита $\vec p$ всегда направлен вдоль оси $z$ в ее положительном направлении ($\hat p = p\hat k$), где $\hat k$ — единичный вектор вдоль оси $z$.
Осевая ($B_z$) и радиальная ($B_{\rho}$) компоненты индукции магнитного поля, вычисленные в некоторой точке $(\rho, \varphi, z)$, имеют вид:
$$B_z=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{p}{(\rho^2+z^2)^{\frac32}}\left[\frac{3z^2}{\rho^2+z^2}-1\right]$$ $$B_{\rho}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3pz\rho}{(\rho^2+z^2)^{5/2}}$$где $\mu_0$ — магнитная постоянная.

3  ^1.50 Пусть в некоторый момент времени скорость падения магнита равна $v$. Найдите величину ЭДС $e_i$, индуцируемой магнитом в кольце.

4  ^1.00 Пусть эта ЭДС вызывает в кольце ток $i$. Найдите модуль магнитной силы $f_{em}$, действующей на кольцо, и выразите ее через $i$.

5  ^0.50 Чему равна величина модуля силы, действующей на магнит со стороны кольца?

6  ^0.50 Выразите ЭДС индукции $e_i$ в кольце через $L, R$ и $i$, но не решайте полученное уравнение!

7  ^1.00 В процессе падения магнита его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается. Не проводя вычислений, укажите в виде формул три основных вида энергии, в которые переходит потенциальная энергия магнита.

8  ^0.50 Совершает ли механическую работу магнитное поле магнита в данном процессе?

Теперь рассчитаем коэффициент пропорциональности $k$ в уравнении $m\ddot z=mg-k\dot z$, обусловленный трубкой. Для этого рассмотрим бесконечную трубку радиусом $a$ со стенками малой толщины $w$ и проводимостью $\sigma$. Здесь и ниже считайте, что индуктивность трубки пренебрежимо мала, а ее концы имеют координаты $z=-\infty$ и $z=\infty$ соответственно.
Разобьем трубку на большое число колец, каждое высотой $\Delta z'$, радиусом $a$, малой толщиной $w$ и проводимостью $\sigma$ (см. рис).

9  ^0.50 Найдите сопротивления отдельного кольца.

10  ^2.00 Найдите коэффициент $k$ для бесконечно длинной трубки и выразите его через $p,\sigma$, а также геометрические размеры кольца. Так как кольца очень тонкие, то можно считать магнитное поле внутри каждого кольца однородным и равным $B_{\rho}(\rho = a)$. Пусть в момент времени $t$ магнит имеет координату $z(t)$ и скорость $\dot z(t)$. Представьте коэффициент $k$ в виде выражения, содержащего некоторый интеграл по безразмерному параметру $u=(z-z')/a$.

11  ^1.00 Предположим, что коэффициент пропорциональности $k$ зависит от следующих величин: $$k=f(\mu_0,p,R_0,a)$$ где $R_0$ - эффективное сопротивление трубки. С помощью анализа размерностей получите выражение для $k$, считая численный коэффициент в полученной формуле равным единице.

Приложение
$$\int\frac{udu}{(u^2+a^2)^n}=\frac12\frac{(u^2+a^2)^{1-n}}{(1-n)}+Constant (n>1) $$