Описание динамики системы с непрерывно распределённой массой представляет достаточно большие трудности, однако зачастую возникает в технических установках. В данной задаче изучается динамика однородной массивной пружины.

Работайте в следующих обозначениях и считайте известным следующее:

1. Длина пружины в недеформированном состоянии называется собственной.
2. При движении пружины её витки никогда не соударяются друг с другом.
3. Линейная плотность пружины (масса на единицу длины) равняется $\mu$.
4. Коэффициент жёсткости пружины с собственной длиной $L$ равен $k$.
5. Положения равновесия элементов пружины описываются координатой $x'$, начало которой совпадает с одним из концов пружины.

Часть A. Динамика массивной пружины (1.5 балла)

A1  ^0.30 Определите кинетическую энергию пружины $E_k$ при движении груза со скоростью $v$.
Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$.

A2  ^0.20 Получите выражение для периода колебаний $T$ пружинного маятника.
Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$.

В таблице представлена зависимость периода колебаний $T$ пружинного маятника от массы $M$ груза. Для обработки данных в листах ответов вам предоставлена таблица и лист миллиметровой бумаги.

A3  ^1.00 Определите массу пружины $m_1$ и её коэффициент жёсткости $k_1$. Оцените погрешности полученных величин.

Часть B. Модель стоячих волн (3.0 балла).

B1  ^0.40 Запишите второй закон Ньютона для бесконечно малого элемента пружины. Покажите, что уравнение движения является волновым.
Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$.

Волны в пружине порождаются как грузом, так и в точке крепления пружины.

Будем называть волну, порождаемую грузом, падающей, а волну, порождаемую в точке крепления пружины, отражённой. Функции смещения, порождаемые падающей и отражённой волной, обозначим за $u_\text{пад}$ и $u_\text{отр}$ соответственно.

В силу принципа суперпозиции:
$$u(x'{,}t)=u_\text{пад}(x'{,}t)+u_\text{отр}(x'{,}t)
$$Для гармонической бегущей отражённой волны решение запишется в виде:
$$u_\text{отр}(x{,}t)=A\cos(\omega_0t-k_0x')
$$где $\omega_0$ и $k_0$ - циклическая частота волны и её волновое число соответственно.

B2  ^0.40 Получите выражение для $u(x'{,}t)$. Ответ выразите через $A$, $\omega_0$, $k_0$, $x'$ и $t$.

Из уравнения движения груза можно получить соотношение:
$$\omega_0=f(\omega_0)
$$где $f(\omega_0)$ - тригонометрическая функция.

B3  ^0.80 Найдите $f(\omega_0)$. Ответ выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$, $M$ и $\omega_0$.

B4  ^0.80 Найдите разложения $f_1(\omega_0)$, $f_2(\omega_0)$ и $f_3(\omega_0)$ функции $f(\omega_0)$ до одного, двух и трёх ведущих членов соответственно. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$, $M$ и $\omega_0$.

B5  ^0.60 Найдите циклические частоты первой гармоники $\omega_{01}$, $\omega_{02}$ и $\omega_{03}$, соответствующие решениям уравнений $\omega_0=f_1(\omega_0)$, $\omega_0=f_2(\omega_0)$ и $\omega_0=f_3(\omega_0)$ соответственно.
Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$.

Часть C. Соударение с полубесконечной пружиной (2.5 балла).

В данной части задачи брусок массой $M$, движущийся со скоростью $v_0$ по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с полубесконечной пружиной. Вам предстоит описать движение бруска и элементов пружины. В данной части задачи мы также будем характеризовать смещение элементов пружины функцией $u=u(x'{,}t)$.

C1  ^0.20 Поскольку пружина полубесконечная и изначально неподвижна - функция $u(x'{,}t)$ может быть записана как функция одной переменной:
$$u=u(x'-ct)
$$Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$.

Далее с помощью координаты $x$ с началом в положении столкновения бруска и пружины будем характеризовать положение бруска.

C2  ^1.50 Выразите импульс $p$ бруска в точке с координатой $x$ через $M$, $v_0$, $\mu$, $k$, $L$ и $x$.

C3  ^0.20 Найдите зависимости скорости груза $v$ от времени $t$ после столкновения.
Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$.

C4  ^0.60 Получите зависимость скорости элементов пружины $v_\text{пр}$ от координаты $x'$ в момент времени $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$, $t$ и $x'$. Постройте качественный график полученной зависимости. На графике укажите все характерные значения.

Часть D. Второй брусок (5.0 балла).

Данная часть задачи является прямым продолжением предыдущей, но с тем отличием, что пружина имеет очень большую, но конечную длину $L_0$, и в некоторый момент волны, порождённые бруском массой $M$, достигают второго конца пружины.

Вблизи второго конца пружины покоится второй брусок массой $m$. В данной части задачи вам необходимо описать движение этого бруска. Время $t$ в данной части задачи отсчитывается от момента достижения падающей волной бруска массой $m$. Считайте, что за время движения бруска массой $m$ волны, отражённые от него, не достигают бруска массой $M$.

В данной части задачи функции смещения падающей и отражённой волн обозначены за $u_1$ и $u_2$ соответственно, а скорость бруска массой $m$ - за $V$.

Введём ещё два обозначения:

1. Cкорость $v_1$ смещения элементов пружины, порождённая падающей волной:
          $$v_1=\cfrac{\partial u_1(L_0{,}t)}{\partial t}$$
2. Скорость $v_2$ смещения элементов пружины, порождённая отражённой волной:
          $$v_2=\cfrac{\partial u_2(L_0{,}t)}{\partial t}$$

D1  ^0.30 Получите зависимость $v_1(t)$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$.

D2  ^0.20 Выразите $v_2(t)$ через $V(t)$ и $v_1(t)$.

D3  ^0.80 Найдите ускорение груза $a(t)=dV(t)/dt$. Ответ выразите через $\mu$, $k$, $L$, $m$, $V(t)$ и $v_1(t)$.

D4  ^1.50 Получите зависимость $V(t)$. Ответ выразите через $v_0$, $m$, $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $t$.

D5  ^0.40 В течении какого времени $\tau$ брусок массой $m$ контактирует с пружиной?
Ответ выразите через $m$, $M$, $\mu$, $k$, $L$.

D6  ^0.30 При какой минимальной массе пружины $m_{min}$ отражённая от бруска массой $m$ волна не достигает бруска массой $M$ за время $\tau$? Ответ выразите через $m$ и $M$.
Во что переходит ответ при $m\to{M}$?

D7  ^0.40 Найдите конечную скорость $V_{\infty}$ бруска массой $m$. Ответ выразите через $v_0$, $m$ и $M$.
Во что переходит ответ при $m\to{M}$?

Рассмотрим предельный случай, когда $m=M$, а масса пружины равна $m_{min}$.

D8  ^1.10 Получите зависимость скорости элементов пружины $v_\text{пр}$ от координаты $x'$ в момент времени $\tau$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $M$ и $x'$. Постройте качественный график полученной зависимости. На графике укажите все характерные значения.